Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20913 / 12535
↖ ↑ ↗
← N 80.987561°
W122.560730°		 ← 47.84 m → N 80.987561°
W122.557983°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.987131°
W122.560730°		 ← 47.85 m →
2 289 m²		 N 80.987131°
W122.557983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159557342529297 y=0.0956382751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159557342529297 × 217)
    floor (0.159557342529297 × 131072)
    floor (20913.5)     		tx = 20913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956382751464844 × 217)
    floor (0.0956382751464844 × 131072)
    floor (12535.5)     		ty = 12535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20913 / 12535 ti = "17/20913/12535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20913/12535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20913 ÷ 217
    20913 ÷ 131072     		x = 0.159553527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12535 ÷ 217
    12535 ÷ 131072     		y = 0.0956344604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159553527832031 × 2 - 1) × π
    -0.680892944335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.13908827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0956344604492188 × 2 - 1) × π
    0.808731079101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.5407036167626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13908827} λ = -2.13908827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5407036167626))-π/2
    2×atan(12.6885957393133)-π/2
    2×1.49214796296428-π/2
    2.98429592592856-1.57079632675     		φ = 1.41349960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13908827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.560730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41349960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.987561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20913 KachelY 12535 -2.13908827 1.41349960 -122.560730 80.987561
    Oben rechts KachelX + 1 20914 KachelY 12535 -2.13904033 1.41349960 -122.557983 80.987561
    Unten links KachelX 20913 KachelY + 1 12536 -2.13908827 1.41349209 -122.560730 80.987131
    Unten rechts KachelX + 1 20914 KachelY + 1 12536 -2.13904033 1.41349209 -122.557983 80.987131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41349960-1.41349209) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41349960-1.41349209) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13908827--2.13904033) × cos(1.41349960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156648882678779 × 6371000     		do = 47.8446009123079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13908827--2.13904033) × cos(1.41349209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156656299958577 × 6371000     		du = 47.8468663404791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41349960)-sin(1.41349209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156648882678779-0.156656299958577)×R²
    abs(-2.13904033--2.13908827)×7.41727979827744e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41727979827744e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41727979827744e-06×40589641000000     		ar = 2289.23701861058m²