Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20912 / 5009
↖ ↑ ↗
← N 77.115582°
E 49.746094°		 ← 272.39 m → N 77.115582°
E 49.757080°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 77.113132°
E 49.746094°		 ← 272.44 m →
74 213 m²		 N 77.113132°
E 49.757080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638198852539062 y=0.152877807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638198852539062 × 215)
    floor (0.638198852539062 × 32768)
    floor (20912.5)     		tx = 20912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152877807617188 × 215)
    floor (0.152877807617188 × 32768)
    floor (5009.5)     		ty = 5009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20912 / 5009 ti = "15/20912/5009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20912/5009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20912 ÷ 215
    20912 ÷ 32768     		x = 0.63818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5009 ÷ 215
    5009 ÷ 32768     		y = 0.152862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63818359375 × 2 - 1) × π
    0.2763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86823313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152862548828125 × 2 - 1) × π
    0.69427490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18112893271255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86823313} λ = 0.86823313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18112893271255))-π/2
    2×atan(8.85629878262391)-π/2
    2×1.45835857085715-π/2
    2.91671714171431-1.57079632675     		φ = 1.34592081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86823313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34592081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.115582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20912 KachelY 5009 0.86823313 1.34592081 49.746094 77.115582
    Oben rechts KachelX + 1 20913 KachelY 5009 0.86842487 1.34592081 49.757080 77.115582
    Unten links KachelX 20912 KachelY + 1 5010 0.86823313 1.34587805 49.746094 77.113132
    Unten rechts KachelX + 1 20913 KachelY + 1 5010 0.86842487 1.34587805 49.757080 77.113132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34592081-1.34587805) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34592081-1.34587805) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86823313-0.86842487) × cos(1.34592081) × R
    0.000191739999999996 × 0.222985014908659 × 6371000     		do = 272.393039998948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86823313-0.86842487) × cos(1.34587805) × R
    0.000191739999999996 × 0.22302669808806 × 6371000     		du = 272.443959151333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34592081)-sin(1.34587805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222985014908659-0.22302669808806)×R²
    abs(0.86842487-0.86823313)×4.16831794009531e-05×R²
    0.000191739999999996×4.16831794009531e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.16831794009531e-05×40589641000000     		ar = 74213.3264424987m²