Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20912 / 4944
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 49.746094°		 ← 269.10 m → N 77.273855°
E 49.757080°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 77.271435°
E 49.746094°		 ← 269.15 m →
72 425 m²		 N 77.271435°
E 49.757080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638198852539062 y=0.150894165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638198852539062 × 215)
    floor (0.638198852539062 × 32768)
    floor (20912.5)     		tx = 20912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150894165039062 × 215)
    floor (0.150894165039062 × 32768)
    floor (4944.5)     		ty = 4944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20912 / 4944 ti = "15/20912/4944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20912/4944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20912 ÷ 215
    20912 ÷ 32768     		x = 0.63818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4944 ÷ 215
    4944 ÷ 32768     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63818359375 × 2 - 1) × π
    0.2763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86823313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86823313} λ = 0.86823313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86823313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20912 KachelY 4944 0.86823313 1.34868319 49.746094 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 20913 KachelY 4944 0.86842487 1.34868319 49.757080 77.273855
    Unten links KachelX 20912 KachelY + 1 4945 0.86823313 1.34864095 49.746094 77.271435
    Unten rechts KachelX + 1 20913 KachelY + 1 4945 0.86842487 1.34864095 49.757080 77.271435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34864095) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34864095) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86823313-0.86842487) × cos(1.34868319) × R
    0.000191739999999996 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 269.10251154164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86823313-0.86842487) × cos(1.34864095) × R
    0.000191739999999996 × 0.220332541259792 × 6371000     		du = 269.152843068997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34864095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220332541259792)×R²
    abs(0.86842487-0.86823313)×4.12021407673602e-05×R²
    0.000191739999999996×4.12021407673602e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.12021407673602e-05×40589641000000     		ar = 72425.2291429698m²