Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20911 / 5008
↖ ↑ ↗
← N 77.118032°
E 49.735108°		 ← 272.36 m → N 77.118032°
E 49.746094°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 77.115582°
E 49.735108°		 ← 272.41 m →
74 203 m²		 N 77.115582°
E 49.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638168334960938 y=0.152847290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638168334960938 × 215)
    floor (0.638168334960938 × 32768)
    floor (20911.5)     		tx = 20911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152847290039062 × 215)
    floor (0.152847290039062 × 32768)
    floor (5008.5)     		ty = 5008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20911 / 5008 ti = "15/20911/5008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20911/5008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20911 ÷ 215
    20911 ÷ 32768     		x = 0.638153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5008 ÷ 215
    5008 ÷ 32768     		y = 0.15283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638153076171875 × 2 - 1) × π
    0.27630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86804138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    0.6943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18132068031103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86804138} λ = 0.86804138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18132068031103))-π/2
    2×atan(8.8579971194677)-π/2
    2×1.45837994727934-π/2
    2.91675989455868-1.57079632675     		φ = 1.34596357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86804138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.735108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34596357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.118032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20911 KachelY 5008 0.86804138 1.34596357 49.735108 77.118032
    Oben rechts KachelX + 1 20912 KachelY 5008 0.86823313 1.34596357 49.746094 77.118032
    Unten links KachelX 20911 KachelY + 1 5009 0.86804138 1.34592081 49.735108 77.115582
    Unten rechts KachelX + 1 20912 KachelY + 1 5009 0.86823313 1.34592081 49.746094 77.115582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34596357-1.34592081) × R
    4.27600000001416e-05 × 6371000     		dl = 272.423960000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34596357-1.34592081) × R
    4.27600000001416e-05 × 6371000     		dr = 272.423960000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86804138-0.86823313) × cos(1.34596357) × R
    0.000191750000000046 × 0.222943331321548 × 6371000     		do = 272.356324068223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86804138-0.86823313) × cos(1.34592081) × R
    0.000191750000000046 × 0.222985014908659 × 6371000     		du = 272.407246374319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34596357)-sin(1.34592081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222943331321548-0.222985014908659)×R²
    abs(0.86823313-0.86804138)×4.16835871108745e-05×R²
    0.000191750000000046×4.16835871108745e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16835871108745e-05×40589641000000     		ar = 74203.3245737197m²