Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20911 / 4971
↖ ↑ ↗
← N 77.208344°
E 49.735108°		 ← 270.48 m → N 77.208344°
E 49.746094°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
N 77.205912°
E 49.735108°		 ← 270.53 m →
73 175 m²		 N 77.205912°
E 49.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638168334960938 y=0.151718139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638168334960938 × 215)
    floor (0.638168334960938 × 32768)
    floor (20911.5)     		tx = 20911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151718139648438 × 215)
    floor (0.151718139648438 × 32768)
    floor (4971.5)     		ty = 4971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20911 / 4971 ti = "15/20911/4971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20911/4971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20911 ÷ 215
    20911 ÷ 32768     		x = 0.638153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4971 ÷ 215
    4971 ÷ 32768     		y = 0.151702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638153076171875 × 2 - 1) × π
    0.27630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86804138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151702880859375 × 2 - 1) × π
    0.69659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1884153414548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86804138} λ = 0.86804138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1884153414548))-π/2
    2×atan(8.92106506575736)-π/2
    2×1.45916807213795-π/2
    2.91833614427589-1.57079632675     		φ = 1.34753982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86804138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.735108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34753982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.208344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20911 KachelY 4971 0.86804138 1.34753982 49.735108 77.208344
    Oben rechts KachelX + 1 20912 KachelY 4971 0.86823313 1.34753982 49.746094 77.208344
    Unten links KachelX 20911 KachelY + 1 4972 0.86804138 1.34749736 49.735108 77.205912
    Unten rechts KachelX + 1 20912 KachelY + 1 4972 0.86823313 1.34749736 49.746094 77.205912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34753982-1.34749736) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dl = 270.512659999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34753982-1.34749736) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dr = 270.512659999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86804138-0.86823313) × cos(1.34753982) × R
    0.000191750000000046 × 0.221406476994968 × 6371000     		do = 270.47884250134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86804138-0.86823313) × cos(1.34749736) × R
    0.000191750000000046 × 0.221447883006523 × 6371000     		du = 270.529425710241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34753982)-sin(1.34749736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221406476994968-0.221447883006523)×R²
    abs(0.86823313-0.86804138)×4.14060115549175e-05×R²
    0.000191750000000046×4.14060115549175e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.14060115549175e-05×40589641000000     		ar = 73174.7928693925m²