Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20910 / 5244
↖ ↑ ↗
← N 76.527061°
E 49.724121°		 ← 284.62 m → N 76.527061°
E 49.735108°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 76.524502°
E 49.724121°		 ← 284.68 m →
81 028 m²		 N 76.524502°
E 49.735108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638137817382812 y=0.160049438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638137817382812 × 215)
    floor (0.638137817382812 × 32768)
    floor (20910.5)     		tx = 20910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160049438476562 × 215)
    floor (0.160049438476562 × 32768)
    floor (5244.5)     		ty = 5244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20910 / 5244 ti = "15/20910/5244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20910/5244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20910 ÷ 215
    20910 ÷ 32768     		x = 0.63812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5244 ÷ 215
    5244 ÷ 32768     		y = 0.1600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63812255859375 × 2 - 1) × π
    0.2762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86784963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1600341796875 × 2 - 1) × π
    0.679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1360682470697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86784963} λ = 0.86784963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1360682470697))-π/2
    2×atan(8.46608554911647)-π/2
    2×1.45322275704149-π/2
    2.90644551408298-1.57079632675     		φ = 1.33564919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86784963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.724121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33564919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.527061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20910 KachelY 5244 0.86784963 1.33564919 49.724121 76.527061
    Oben rechts KachelX + 1 20911 KachelY 5244 0.86804138 1.33564919 49.735108 76.527061
    Unten links KachelX 20910 KachelY + 1 5245 0.86784963 1.33560451 49.724121 76.524502
    Unten rechts KachelX + 1 20911 KachelY + 1 5245 0.86804138 1.33560451 49.735108 76.524502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33564919-1.33560451) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dl = 284.656280000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33564919-1.33560451) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dr = 284.656280000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86784963-0.86804138) × cos(1.33564919) × R
    0.000191749999999935 × 0.232986075634639 × 6371000     		do = 284.624934698647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86784963-0.86804138) × cos(1.33560451) × R
    0.000191749999999935 × 0.233029525811643 × 6371000     		du = 284.678015140294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33564919)-sin(1.33560451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232986075634639-0.233029525811643)×R²
    abs(0.86804138-0.86784963)×4.34501770040785e-05×R²
    0.000191749999999935×4.34501770040785e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.34501770040785e-05×40589641000000     		ar = 81027.8299604687m²