Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20910 / 12678
↖ ↑ ↗
← N 80.925827°
W122.568970°		 ← 48.16 m → N 80.925827°
W122.566223°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.925394°
W122.568970°		 ← 48.16 m →
2 320 m²		 N 80.925394°
W122.566223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159534454345703 y=0.0967292785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159534454345703 × 217)
    floor (0.159534454345703 × 131072)
    floor (20910.5)     		tx = 20910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967292785644531 × 217)
    floor (0.0967292785644531 × 131072)
    floor (12678.5)     		ty = 12678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20910 / 12678 ti = "17/20910/12678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20910/12678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20910 ÷ 217
    20910 ÷ 131072     		x = 0.159530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12678 ÷ 217
    12678 ÷ 131072     		y = 0.0967254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159530639648438 × 2 - 1) × π
    -0.680938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13923208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0967254638671875 × 2 - 1) × π
    0.806549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53384864011693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13923208} λ = -2.13923208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53384864011693))-π/2
    2×atan(12.6019131548394)-π/2
    2×1.49160922919933-π/2
    2.98321845839866-1.57079632675     		φ = 1.41242213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13923208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.568970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41242213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.925827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20910 KachelY 12678 -2.13923208 1.41242213 -122.568970 80.925827
    Oben rechts KachelX + 1 20911 KachelY 12678 -2.13918415 1.41242213 -122.566223 80.925827
    Unten links KachelX 20910 KachelY + 1 12679 -2.13923208 1.41241457 -122.568970 80.925394
    Unten rechts KachelX + 1 20911 KachelY + 1 12679 -2.13918415 1.41241457 -122.566223 80.925394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41242213-1.41241457) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41242213-1.41241457) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13923208--2.13918415) × cos(1.41242213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157712959482082 × 6371000     		do = 48.1595494647859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13923208--2.13918415) × cos(1.41241457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157720424864165 × 6371000     		du = 48.1618291090132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41242213)-sin(1.41241457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157712959482082-0.157720424864165)×R²
    abs(-2.13918415--2.13923208)×7.46538208223901e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.46538208223901e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.46538208223901e-06×40589641000000     		ar = 2319.64804097115m²