Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20909 / 5245
↖ ↑ ↗
← N 76.524502°
E 49.713135°		 ← 284.68 m → N 76.524502°
E 49.724121°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 76.521941°
E 49.713135°		 ← 284.73 m →
81 061 m²		 N 76.521941°
E 49.724121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638107299804688 y=0.160079956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638107299804688 × 215)
    floor (0.638107299804688 × 32768)
    floor (20909.5)     		tx = 20909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160079956054688 × 215)
    floor (0.160079956054688 × 32768)
    floor (5245.5)     		ty = 5245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20909 / 5245 ti = "15/20909/5245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20909/5245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20909 ÷ 215
    20909 ÷ 32768     		x = 0.638092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5245 ÷ 215
    5245 ÷ 32768     		y = 0.160064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    0.27618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86765788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160064697265625 × 2 - 1) × π
    0.67987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13587649947122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86765788} λ = 0.86765788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13587649947122))-π/2
    2×atan(8.46446235317083)-π/2
    2×1.45320041769825-π/2
    2.90640083539651-1.57079632675     		φ = 1.33560451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86765788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33560451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.524502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20909 KachelY 5245 0.86765788 1.33560451 49.713135 76.524502
    Oben rechts KachelX + 1 20910 KachelY 5245 0.86784963 1.33560451 49.724121 76.524502
    Unten links KachelX 20909 KachelY + 1 5246 0.86765788 1.33555982 49.713135 76.521941
    Unten rechts KachelX + 1 20910 KachelY + 1 5246 0.86784963 1.33555982 49.724121 76.521941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33560451-1.33555982) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33560451-1.33555982) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.33560451) × R
    0.000191750000000046 × 0.233029525811643 × 6371000     		do = 284.678015140459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.33555982) × R
    0.000191750000000046 × 0.233072985248042 × 6371000     		du = 284.731106893747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33560451)-sin(1.33555982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233029525811643-0.233072985248042)×R²
    abs(0.86784963-0.86765788)×4.34594363990792e-05×R²
    0.000191750000000046×4.34594363990792e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.34594363990792e-05×40589641000000     		ar = 81061.0797794577m²