Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20909 / 5015
↖ ↑ ↗
← N 77.100875°
E 49.713135°		 ← 272.71 m → N 77.100875°
E 49.724121°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 77.098422°
E 49.713135°		 ← 272.76 m →
74 387 m²		 N 77.098422°
E 49.724121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638107299804688 y=0.153060913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638107299804688 × 215)
    floor (0.638107299804688 × 32768)
    floor (20909.5)     		tx = 20909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153060913085938 × 215)
    floor (0.153060913085938 × 32768)
    floor (5015.5)     		ty = 5015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20909 / 5015 ti = "15/20909/5015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20909/5015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20909 ÷ 215
    20909 ÷ 32768     		x = 0.638092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5015 ÷ 215
    5015 ÷ 32768     		y = 0.153045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    0.27618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86765788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153045654296875 × 2 - 1) × π
    0.69390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17997844712167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86765788} λ = 0.86765788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17997844712167))-π/2
    2×atan(8.84611559741311)-π/2
    2×1.45823022838222-π/2
    2.91646045676445-1.57079632675     		φ = 1.34566413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86765788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34566413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.100875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20909 KachelY 5015 0.86765788 1.34566413 49.713135 77.100875
    Oben rechts KachelX + 1 20910 KachelY 5015 0.86784963 1.34566413 49.724121 77.100875
    Unten links KachelX 20909 KachelY + 1 5016 0.86765788 1.34562132 49.713135 77.098422
    Unten rechts KachelX + 1 20910 KachelY + 1 5016 0.86784963 1.34562132 49.724121 77.098422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34566413-1.34562132) × R
    4.28100000000597e-05 × 6371000     		dl = 272.742510000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34566413-1.34562132) × R
    4.28100000000597e-05 × 6371000     		dr = 272.742510000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.34566413) × R
    0.000191750000000046 × 0.223235224838506 × 6371000     		do = 272.712912645359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.34562132) × R
    0.000191750000000046 × 0.223276954306655 × 6371000     		du = 272.763891001532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34566413)-sin(1.34562132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223235224838506-0.223276954306655)×R²
    abs(0.86784963-0.86765788)×4.17294681492875e-05×R²
    0.000191750000000046×4.17294681492875e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.17294681492875e-05×40589641000000     		ar = 74387.3562974832m²