Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20909 / 5009
N 77.115582°
E 49.713135°
← 272.41 m → N 77.115582°
E 49.724121°

272.42 m

272.42 m
N 77.113132°
E 49.713135°
← 272.46 m →
74 217 m²
N 77.113132°
E 49.724121°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638107299804688 y=0.152877807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638107299804688 × 215)
    floor (0.638107299804688 × 32768)
    floor (20909.5)
    tx = 20909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152877807617188 × 215)
    floor (0.152877807617188 × 32768)
    floor (5009.5)
    ty = 5009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20909 / 5009 ti = "15/20909/5009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20909/5009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20909 ÷ 215
    20909 ÷ 32768
    x = 0.638092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5009 ÷ 215
    5009 ÷ 32768
    y = 0.152862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    0.27618408203125 × 3.1415926535
    Λ = 0.86765788
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.152862548828125 × 2 - 1) × π
    0.69427490234375 × 3.1415926535
    Φ = 2.18112893271255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86765788} λ = 0.86765788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18112893271255))-π/2
    2×atan(8.85629878262391)-π/2
    2×1.45835857085715-π/2
    2.91671714171431-1.57079632675
    φ = 1.34592081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86765788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34592081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.115582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20909 KachelY 5009 0.86765788 1.34592081 49.713135 77.115582
    Oben rechts KachelX + 1 20910 KachelY 5009 0.86784963 1.34592081 49.724121 77.115582
    Unten links KachelX 20909 KachelY + 1 5010 0.86765788 1.34587805 49.713135 77.113132
    Unten rechts KachelX + 1 20910 KachelY + 1 5010 0.86784963 1.34587805 49.724121 77.113132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34592081-1.34587805) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000
    dl = 272.423959999487m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34592081-1.34587805) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000
    dr = 272.423959999487m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.34592081) × R
    0.000191750000000046 × 0.222985014908659 × 6371000
    do = 272.407246374319m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.86765788-0.86784963) × cos(1.34587805) × R
    0.000191750000000046 × 0.22302669808806 × 6371000
    du = 272.45816818234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34592081)-sin(1.34587805))×
    abs(λ12)×abs(0.222985014908659-0.22302669808806)×
    abs(0.86784963-0.86765788)×4.16831794009531e-05×
    0.000191750000000046×4.16831794009531e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16831794009531e-05×40589641000000
    ar = 74217.1969612645m²