Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20908 / 5196
↖ ↑ ↗
← N 76.649377°
E 49.702149°		 ← 282.07 m → N 76.649377°
E 49.713135°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
N 76.646839°
E 49.702149°		 ← 282.13 m →
79 583 m²		 N 76.646839°
E 49.713135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638076782226562 y=0.158584594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638076782226562 × 215)
    floor (0.638076782226562 × 32768)
    floor (20908.5)     		tx = 20908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158584594726562 × 215)
    floor (0.158584594726562 × 32768)
    floor (5196.5)     		ty = 5196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20908 / 5196 ti = "15/20908/5196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20908/5196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20908 ÷ 215
    20908 ÷ 32768     		x = 0.6380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5196 ÷ 215
    5196 ÷ 32768     		y = 0.1585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6380615234375 × 2 - 1) × π
    0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    0.682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14527213179675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86746614} λ = 0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14527213179675))-π/2
    2×atan(8.54436611464611)-π/2
    2×1.45429016065446-π/2
    2.90858032130893-1.57079632675     		φ = 1.33778399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33778399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.649377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20908 KachelY 5196 0.86746614 1.33778399 49.702149 76.649377
    Oben rechts KachelX + 1 20909 KachelY 5196 0.86765788 1.33778399 49.713135 76.649377
    Unten links KachelX 20908 KachelY + 1 5197 0.86746614 1.33773971 49.702149 76.646839
    Unten rechts KachelX + 1 20909 KachelY + 1 5197 0.86765788 1.33773971 49.713135 76.646839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33778399-1.33773971) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33778399-1.33773971) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86746614-0.86765788) × cos(1.33778399) × R
    0.000191739999999996 × 0.230909495854086 × 6371000     		do = 282.073392089077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86746614-0.86765788) × cos(1.33773971) × R
    0.000191739999999996 × 0.230952578971031 × 6371000     		du = 282.126021370924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33778399)-sin(1.33773971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230909495854086-0.230952578971031)×R²
    abs(0.86765788-0.86746614)×4.30831169447032e-05×R²
    0.000191739999999996×4.30831169447032e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.30831169447032e-05×40589641000000     		ar = 79582.5502275834m²