Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20907 / 5070
↖ ↑ ↗
← N 76.965290°
E 49.691162°		 ← 275.53 m → N 76.965290°
E 49.702149°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 76.962812°
E 49.691162°		 ← 275.58 m →
75 928 m²		 N 76.962812°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638046264648438 y=0.154739379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638046264648438 × 215)
    floor (0.638046264648438 × 32768)
    floor (20907.5)     		tx = 20907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154739379882812 × 215)
    floor (0.154739379882812 × 32768)
    floor (5070.5)     		ty = 5070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20907 / 5070 ti = "15/20907/5070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20907/5070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20907 ÷ 215
    20907 ÷ 32768     		x = 0.638031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5070 ÷ 215
    5070 ÷ 32768     		y = 0.15472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    0.27606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86727439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15472412109375 × 2 - 1) × π
    0.6905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16943232920526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86727439} λ = 0.86727439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16943232920526))-π/2
    2×atan(8.75331362959098)-π/2
    2×1.45704702574444-π/2
    2.91409405148887-1.57079632675     		φ = 1.34329772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86727439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34329772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.965290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20907 KachelY 5070 0.86727439 1.34329772 49.691162 76.965290
    Oben rechts KachelX + 1 20908 KachelY 5070 0.86746614 1.34329772 49.702149 76.965290
    Unten links KachelX 20907 KachelY + 1 5071 0.86727439 1.34325447 49.691162 76.962812
    Unten rechts KachelX + 1 20908 KachelY + 1 5071 0.86746614 1.34325447 49.702149 76.962812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34329772-1.34325447) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dl = 275.54575000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34329772-1.34325447) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dr = 275.54575000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86727439-0.86746614) × cos(1.34329772) × R
    0.000191750000000046 × 0.225541290346856 × 6371000     		do = 275.530092783431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86727439-0.86746614) × cos(1.34325447) × R
    0.000191750000000046 × 0.225583425739519 × 6371000     		du = 275.581567032923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34329772)-sin(1.34325447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225541290346856-0.225583425739519)×R²
    abs(0.86746614-0.86727439)×4.21353926636503e-05×R²
    0.000191750000000046×4.21353926636503e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.21353926636503e-05×40589641000000     		ar = 75928.2378308651m²