Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20906 / 5080
↖ ↑ ↗
← N 76.940488°
E 49.680176°		 ← 276.05 m → N 76.940488°
E 49.691162°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 76.938006°
E 49.680176°		 ← 276.10 m →
76 211 m²		 N 76.938006°
E 49.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638015747070312 y=0.155044555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638015747070312 × 215)
    floor (0.638015747070312 × 32768)
    floor (20906.5)     		tx = 20906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155044555664062 × 215)
    floor (0.155044555664062 × 32768)
    floor (5080.5)     		ty = 5080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20906 / 5080 ti = "15/20906/5080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20906/5080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20906 ÷ 215
    20906 ÷ 32768     		x = 0.63800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5080 ÷ 215
    5080 ÷ 32768     		y = 0.155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155029296875 × 2 - 1) × π
    0.68994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16751485322046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86708264} λ = 0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16751485322046))-π/2
    2×atan(8.73654544235461)-π/2
    2×1.45683058865483-π/2
    2.91366117730966-1.57079632675     		φ = 1.34286485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34286485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.940488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20906 KachelY 5080 0.86708264 1.34286485 49.680176 76.940488
    Oben rechts KachelX + 1 20907 KachelY 5080 0.86727439 1.34286485 49.691162 76.940488
    Unten links KachelX 20906 KachelY + 1 5081 0.86708264 1.34282152 49.680176 76.938006
    Unten rechts KachelX + 1 20907 KachelY + 1 5081 0.86727439 1.34282152 49.691162 76.938006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34286485-1.34282152) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34286485-1.34282152) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86708264-0.86727439) × cos(1.34286485) × R
    0.000191749999999935 × 0.225962985705773 × 6371000     		do = 276.045252385268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86708264-0.86727439) × cos(1.34282152) × R
    0.000191749999999935 × 0.226005194801683 × 6371000     		du = 276.096816673538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34286485)-sin(1.34282152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225962985705773-0.226005194801683)×R²
    abs(0.86727439-0.86708264)×4.2209095910184e-05×R²
    0.000191749999999935×4.2209095910184e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.2209095910184e-05×40589641000000     		ar = 76210.9081594037m²