Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20904 / 12536
↖ ↑ ↗
← N 80.987131°
W122.585449°		 ← 47.84 m → N 80.987131°
W122.582703°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.986701°
W122.585449°		 ← 47.84 m →
2 289 m²		 N 80.986701°
W122.582703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159488677978516 y=0.0956459045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159488677978516 × 217)
    floor (0.159488677978516 × 131072)
    floor (20904.5)     		tx = 20904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956459045410156 × 217)
    floor (0.0956459045410156 × 131072)
    floor (12536.5)     		ty = 12536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20904 / 12536 ti = "17/20904/12536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20904/12536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20904 ÷ 217
    20904 ÷ 131072     		x = 0.15948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12536 ÷ 217
    12536 ÷ 131072     		y = 0.09564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.6810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13951970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09564208984375 × 2 - 1) × π
    0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13951970} λ = -2.13951970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54065567986298))-π/2
    2×atan(12.6879875019517)-π/2
    2×1.49214420824449-π/2
    2.98428841648898-1.57079632675     		φ = 1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13951970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.585449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20904 KachelY 12536 -2.13951970 1.41349209 -122.585449 80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 20905 KachelY 12536 -2.13947177 1.41349209 -122.582703 80.987131
    Unten links KachelX 20904 KachelY + 1 12537 -2.13951970 1.41348458 -122.585449 80.986701
    Unten rechts KachelX + 1 20905 KachelY + 1 12537 -2.13947177 1.41348458 -122.582703 80.986701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41349209-1.41348458) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41349209-1.41348458) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13951970--2.13947177) × cos(1.41349209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 47.8368857676694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13951970--2.13947177) × cos(1.41348458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15666371722954 × 6371000     		du = 47.8391507205877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41349209)-sin(1.41348458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.15666371722954)×R²
    abs(-2.13947177--2.13951970)×7.41727096303935e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.41727096303935e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.41727096303935e-06×40589641000000     		ar = 2288.86786688215m²