Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20903 / 5112
↖ ↑ ↗
← N 76.860811°
E 49.647217°		 ← 277.70 m → N 76.860811°
E 49.658203°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 76.858313°
E 49.647217°		 ← 277.75 m →
77 128 m²		 N 76.858313°
E 49.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637924194335938 y=0.156021118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637924194335938 × 215)
    floor (0.637924194335938 × 32768)
    floor (20903.5)     		tx = 20903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156021118164062 × 215)
    floor (0.156021118164062 × 32768)
    floor (5112.5)     		ty = 5112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20903 / 5112 ti = "15/20903/5112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20903/5112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20903 ÷ 215
    20903 ÷ 32768     		x = 0.637908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5112 ÷ 215
    5112 ÷ 32768     		y = 0.156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637908935546875 × 2 - 1) × π
    0.27581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86650740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    0.68798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16137893006909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86650740} λ = 0.86650740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16137893006909))-π/2
    2×atan(8.68310279856375)-π/2
    2×1.45613526714612-π/2
    2.91227053429225-1.57079632675     		φ = 1.34147421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86650740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.647217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34147421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.860811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20903 KachelY 5112 0.86650740 1.34147421 49.647217 76.860811
    Oben rechts KachelX + 1 20904 KachelY 5112 0.86669915 1.34147421 49.658203 76.860811
    Unten links KachelX 20903 KachelY + 1 5113 0.86650740 1.34143062 49.647217 76.858313
    Unten rechts KachelX + 1 20904 KachelY + 1 5113 0.86669915 1.34143062 49.658203 76.858313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34147421-1.34143062) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dl = 277.711889999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34147421-1.34143062) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dr = 277.711889999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86650740-0.86669915) × cos(1.34147421) × R
    0.000191749999999935 × 0.227317439108434 × 6371000     		do = 277.699905824254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86650740-0.86669915) × cos(1.34143062) × R
    0.000191749999999935 × 0.227359887737357 × 6371000     		du = 277.751762735455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34147421)-sin(1.34143062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227317439108434-0.227359887737357)×R²
    abs(0.86669915-0.86650740)×4.24486289227477e-05×R²
    0.000191749999999935×4.24486289227477e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.24486289227477e-05×40589641000000     		ar = 77127.766351794m²