Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20902 / 12524
↖ ↑ ↗
← N 80.992293°
W122.590943°		 ← 47.82 m → N 80.992293°
W122.588196°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.991863°
W122.590943°		 ← 47.82 m →
2 288 m²		 N 80.991863°
W122.588196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159473419189453 y=0.0955543518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159473419189453 × 217)
    floor (0.159473419189453 × 131072)
    floor (20902.5)     		tx = 20902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955543518066406 × 217)
    floor (0.0955543518066406 × 131072)
    floor (12524.5)     		ty = 12524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20902 / 12524 ti = "17/20902/12524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20902/12524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20902 ÷ 217
    20902 ÷ 131072     		x = 0.159469604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12524 ÷ 217
    12524 ÷ 131072     		y = 0.095550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159469604492188 × 2 - 1) × π
    -0.681060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13961558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095550537109375 × 2 - 1) × π
    0.80889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54123092265842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13961558} λ = -2.13961558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54123092265842))-π/2
    2×atan(12.695288275008)-π/2
    2×1.49218925315135-π/2
    2.98437850630269-1.57079632675     		φ = 1.41358218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13961558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.590943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41358218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.992293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20902 KachelY 12524 -2.13961558 1.41358218 -122.590943 80.992293
    Oben rechts KachelX + 1 20903 KachelY 12524 -2.13956764 1.41358218 -122.588196 80.992293
    Unten links KachelX 20902 KachelY + 1 12525 -2.13961558 1.41357467 -122.590943 80.991863
    Unten rechts KachelX + 1 20903 KachelY + 1 12525 -2.13956764 1.41357467 -122.588196 80.991863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41358218-1.41357467) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41358218-1.41357467) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13961558--2.13956764) × cos(1.41358218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156567321647997 × 6371000     		do = 47.8196900741261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13961558--2.13956764) × cos(1.41357467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156574739024922 × 6371000     		du = 47.8219555319623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41358218)-sin(1.41357467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156567321647997-0.156574739024922)×R²
    abs(-2.13956764--2.13961558)×7.4173769251118e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4173769251118e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4173769251118e-06×40589641000000     		ar = 2288.04513023273m²