Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20899 / 13419
↖ ↑ ↗
← N 80.599153°
W122.599182°		 ← 49.89 m → N 80.599153°
W122.596435°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
N 80.598704°
W122.599182°		 ← 49.89 m →
2 489 m²		 N 80.598704°
W122.596435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159450531005859 y=0.102382659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159450531005859 × 217)
    floor (0.159450531005859 × 131072)
    floor (20899.5)     		tx = 20899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102382659912109 × 217)
    floor (0.102382659912109 × 131072)
    floor (13419.5)     		ty = 13419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20899 / 13419 ti = "17/20899/13419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20899/13419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20899 ÷ 217
    20899 ÷ 131072     		x = 0.159446716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13419 ÷ 217
    13419 ÷ 131072     		y = 0.102378845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159446716308594 × 2 - 1) × π
    -0.681106567382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.13975939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102378845214844 × 2 - 1) × π
    0.795242309570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49832739749847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13975939} λ = -2.13975939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49832739749847))-π/2
    2×atan(12.1621345222002)-π/2
    2×1.48875845860475-π/2
    2.9775169172095-1.57079632675     		φ = 1.40672059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13975939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.599182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40672059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.599153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20899 KachelY 13419 -2.13975939 1.40672059 -122.599182 80.599153
    Oben rechts KachelX + 1 20900 KachelY 13419 -2.13971145 1.40672059 -122.596435 80.599153
    Unten links KachelX 20899 KachelY + 1 13420 -2.13975939 1.40671276 -122.599182 80.598704
    Unten rechts KachelX + 1 20900 KachelY + 1 13420 -2.13971145 1.40671276 -122.596435 80.598704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40672059-1.40671276) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40672059-1.40671276) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13975939--2.13971145) × cos(1.40672059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163340550772306 × 6371000     		do = 49.8884085916065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13975939--2.13971145) × cos(1.40671276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163348275608413 × 6371000     		du = 49.8907679553908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40672059)-sin(1.40671276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163340550772306-0.163348275608413)×R²
    abs(-2.13971145--2.13975939)×7.72483610689267e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72483610689267e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72483610689267e-06×40589641000000     		ar = 2488.73861875527m²