Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20899 / 12531
↖ ↑ ↗
← N 80.989282°
W122.599182°		 ← 47.84 m → N 80.989282°
W122.596435°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.988852°
W122.599182°		 ← 47.84 m →
2 286 m²		 N 80.988852°
W122.596435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159450531005859 y=0.0956077575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159450531005859 × 217)
    floor (0.159450531005859 × 131072)
    floor (20899.5)     		tx = 20899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956077575683594 × 217)
    floor (0.0956077575683594 × 131072)
    floor (12531.5)     		ty = 12531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20899 / 12531 ti = "17/20899/12531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20899/12531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20899 ÷ 217
    20899 ÷ 131072     		x = 0.159446716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12531 ÷ 217
    12531 ÷ 131072     		y = 0.0956039428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159446716308594 × 2 - 1) × π
    -0.681106567382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.13975939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0956039428710938 × 2 - 1) × π
    0.808792114257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.54089536436108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13975939} λ = -2.13975939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54089536436108))-π/2
    2×atan(12.691028980351)-π/2
    2×1.49216298006587-π/2
    2.98432596013174-1.57079632675     		φ = 1.41352963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13975939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.599182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41352963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.989282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20899 KachelY 12531 -2.13975939 1.41352963 -122.599182 80.989282
    Oben rechts KachelX + 1 20900 KachelY 12531 -2.13971145 1.41352963 -122.596435 80.989282
    Unten links KachelX 20899 KachelY + 1 12532 -2.13975939 1.41352213 -122.599182 80.988852
    Unten rechts KachelX + 1 20900 KachelY + 1 12532 -2.13971145 1.41352213 -122.596435 80.988852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41352963-1.41352213) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41352963-1.41352213) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13975939--2.13971145) × cos(1.41352963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15661922334783 × 6371000     		do = 47.835542189205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13975939--2.13971145) × cos(1.41352213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156626630786375 × 6371000     		du = 47.8378046116041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41352963)-sin(1.41352213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15661922334783-0.156626630786375)×R²
    abs(-2.13971145--2.13975939)×7.40743854527048e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40743854527048e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40743854527048e-06×40589641000000     		ar = 2285.7558468291m²