Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20898 / 12527
↖ ↑ ↗
← N 80.991003°
W122.601929°		 ← 47.83 m → N 80.991003°
W122.599182°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.990573°
W122.601929°		 ← 47.83 m →
2 285 m²		 N 80.990573°
W122.599182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159442901611328 y=0.0955772399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159442901611328 × 217)
    floor (0.159442901611328 × 131072)
    floor (20898.5)     		tx = 20898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955772399902344 × 217)
    floor (0.0955772399902344 × 131072)
    floor (12527.5)     		ty = 12527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20898 / 12527 ti = "17/20898/12527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20898/12527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20898 ÷ 217
    20898 ÷ 131072     		x = 0.159439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12527 ÷ 217
    12527 ÷ 131072     		y = 0.0955734252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.681121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13980733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955734252929688 × 2 - 1) × π
    0.808853149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.54108711195956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13980733} λ = -2.13980733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54108711195956))-π/2
    2×atan(12.6934626880016)-π/2
    2×1.49217799432377-π/2
    2.98435598864755-1.57079632675     		φ = 1.41355966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13980733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.601929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41355966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.991003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20898 KachelY 12527 -2.13980733 1.41355966 -122.601929 80.991003
    Oben rechts KachelX + 1 20899 KachelY 12527 -2.13975939 1.41355966 -122.599182 80.991003
    Unten links KachelX 20898 KachelY + 1 12528 -2.13980733 1.41355216 -122.601929 80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 20899 KachelY + 1 12528 -2.13975939 1.41355216 -122.599182 80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41355966-1.41355216) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41355966-1.41355216) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13980733--2.13975939) × cos(1.41355966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156589563875642 × 6371000     		do = 47.8264834229639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13980733--2.13975939) × cos(1.41355216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 47.828745856136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41355966)-sin(1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156589563875642-0.156596971349459)×R²
    abs(-2.13975939--2.13980733)×7.40747381730578e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40747381730578e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40747381730578e-06×40589641000000     		ar = 2285.32299650799m²