Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20895 / 12326
↖ ↑ ↗
← N 81.077040°
W122.610169°		 ← 47.37 m → N 81.077040°
W122.607422°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.076614°
W122.610169°		 ← 47.38 m →
2 243 m²		 N 81.076614°
W122.607422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159420013427734 y=0.0940437316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159420013427734 × 217)
    floor (0.159420013427734 × 131072)
    floor (20895.5)     		tx = 20895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0940437316894531 × 217)
    floor (0.0940437316894531 × 131072)
    floor (12326.5)     		ty = 12326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20895 / 12326 ti = "17/20895/12326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20895/12326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20895 ÷ 217
    20895 ÷ 131072     		x = 0.159416198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12326 ÷ 217
    12326 ÷ 131072     		y = 0.0940399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159416198730469 × 2 - 1) × π
    -0.681167602539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.13995114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0940399169921875 × 2 - 1) × π
    0.811920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55072242878319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13995114} λ = -2.13995114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55072242878319))-π/2
    2×atan(12.816359345905)-π/2
    2×1.4929288108389-π/2
    2.9858576216778-1.57079632675     		φ = 1.41506129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13995114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.610169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41506129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.077040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20895 KachelY 12326 -2.13995114 1.41506129 -122.610169 81.077040
    Oben rechts KachelX + 1 20896 KachelY 12326 -2.13990320 1.41506129 -122.607422 81.077040
    Unten links KachelX 20895 KachelY + 1 12327 -2.13995114 1.41505386 -122.610169 81.076614
    Unten rechts KachelX + 1 20896 KachelY + 1 12327 -2.13990320 1.41505386 -122.607422 81.076614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41506129-1.41505386) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41506129-1.41505386) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13995114--2.13990320) × cos(1.41506129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155106282350483 × 6371000     		do = 47.3734510655141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13995114--2.13990320) × cos(1.41505386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155113622426772 × 6371000     		du = 47.3756929137465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41506129)-sin(1.41505386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155106282350483-0.155113622426772)×R²
    abs(-2.13990320--2.13995114)×7.34007628955258e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34007628955258e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34007628955258e-06×40589641000000     		ar = 2242.54784814779m²