Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2089 / 6221
↖ ↑ ↗
← N 39.690281°
W134.099121°		 ← 1 880.12 m → N 39.690281°
W134.077148°		 →
↑
1 880.34 m
↓
↑
1 880.34 m
↓
N 39.673370°
W134.099121°		 ← 1 880.58 m →
3 535 696 m²		 N 39.673370°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127532958984375 y=0.379730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127532958984375 × 214)
    floor (0.127532958984375 × 16384)
    floor (2089.5)     		tx = 2089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379730224609375 × 214)
    floor (0.379730224609375 × 16384)
    floor (6221.5)     		ty = 6221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2089 / 6221 ti = "14/2089/6221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2089/6221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2089 ÷ 214
    2089 ÷ 16384     		x = 0.12750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6221 ÷ 214
    6221 ÷ 16384     		y = 0.37969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755869033209045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34047119} λ = -2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755869033209045))-π/2
    2×atan(2.12946129206385)-π/2
    2×1.13176120209913-π/2
    2.26352240419826-1.57079632675     		φ = 0.69272608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69272608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.690281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2089 KachelY 6221 -2.34047119 0.69272608 -134.099121 39.690281
    Oben rechts KachelX + 1 2090 KachelY 6221 -2.34008769 0.69272608 -134.077148 39.690281
    Unten links KachelX 2089 KachelY + 1 6222 -2.34047119 0.69243094 -134.099121 39.673370
    Unten rechts KachelX + 1 2090 KachelY + 1 6222 -2.34008769 0.69243094 -134.077148 39.673370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69272608-0.69243094) × R
    0.000295139999999972 × 6371000     		dl = 1880.33693999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69272608-0.69243094) × R
    0.000295139999999972 × 6371000     		dr = 1880.33693999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34047119--2.34008769) × cos(0.69272608) × R
    0.000383500000000314 × 0.769507900104354 × 6371000     		do = 1880.12210790666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34047119--2.34008769) × cos(0.69243094) × R
    0.000383500000000314 × 0.769696353997196 × 6371000     		du = 1880.58255325128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69272608)-sin(0.69243094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769507900104354-0.769696353997196)×R²
    abs(-2.34008769--2.34047119)×0.000188453892841944×R²
    0.000383500000000314×0.000188453892841944×6371000²
    0.000383500000000314×0.000188453892841944×40589641000000     		ar = 3535695.97306754m²