Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2089 / 1893
↖ ↑ ↗
← N 79.792852°
W134.099121°		 ← 432.97 m → N 79.792852°
W134.077148°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
N 79.788958°
W134.099121°		 ← 433.13 m →
187 526 m²		 N 79.788958°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127532958984375 y=0.115570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127532958984375 × 214)
    floor (0.127532958984375 × 16384)
    floor (2089.5)     		tx = 2089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115570068359375 × 214)
    floor (0.115570068359375 × 16384)
    floor (1893.5)     		ty = 1893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2089 / 1893 ti = "14/2089/1893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2089/1893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2089 ÷ 214
    2089 ÷ 16384     		x = 0.12750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1893 ÷ 214
    1893 ÷ 16384     		y = 0.11553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11553955078125 × 2 - 1) × π
    0.7689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41563624565387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34047119} λ = -2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41563624565387))-π/2
    2×atan(11.1968920656482)-π/2
    2×1.48172215708195-π/2
    2.96344431416389-1.57079632675     		φ = 1.39264799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39264799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.792852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2089 KachelY 1893 -2.34047119 1.39264799 -134.099121 79.792852
    Oben rechts KachelX + 1 2090 KachelY 1893 -2.34008769 1.39264799 -134.077148 79.792852
    Unten links KachelX 2089 KachelY + 1 1894 -2.34047119 1.39258002 -134.099121 79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 2090 KachelY + 1 1894 -2.34008769 1.39258002 -134.077148 79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39264799-1.39258002) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dl = 433.036869999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39264799-1.39258002) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dr = 433.036869999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34047119--2.34008769) × cos(1.39264799) × R
    0.000383500000000314 × 0.177207520385961 × 6371000     		do = 432.967324597684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34047119--2.34008769) × cos(1.39258002) × R
    0.000383500000000314 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 433.130764937316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39264799)-sin(1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177207520385961-0.177274414249936)×R²
    abs(-2.34008769--2.34047119)×6.68938639748207e-05×R²
    0.000383500000000314×6.68938639748207e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.68938639748207e-05×40589641000000     		ar = 187526.202975586m²