Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20882 / 30257
↖ ↑ ↗
← N 69.114632°
W122.645874°		 ← 108.88 m → N 69.114632°
W122.643128°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 69.113653°
W122.645874°		 ← 108.89 m →
11 856 m²		 N 69.113653°
W122.643128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159320831298828 y=0.230846405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159320831298828 × 217)
    floor (0.159320831298828 × 131072)
    floor (20882.5)     		tx = 20882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230846405029297 × 217)
    floor (0.230846405029297 × 131072)
    floor (30257.5)     		ty = 30257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20882 / 30257 ti = "17/20882/30257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20882/30257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20882 ÷ 217
    20882 ÷ 131072     		x = 0.159317016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30257 ÷ 217
    30257 ÷ 131072     		y = 0.230842590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159317016601562 × 2 - 1) × π
    -0.681365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14057432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230842590332031 × 2 - 1) × π
    0.538314819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69116588169596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14057432} λ = -2.14057432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69116588169596))-π/2
    2×atan(5.42580286321499)-π/2
    2×1.38853710764783-π/2
    2.77707421529567-1.57079632675     		φ = 1.20627789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14057432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.645874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20627789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.114632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20882 KachelY 30257 -2.14057432 1.20627789 -122.645874 69.114632
    Oben rechts KachelX + 1 20883 KachelY 30257 -2.14052638 1.20627789 -122.643128 69.114632
    Unten links KachelX 20882 KachelY + 1 30258 -2.14057432 1.20626080 -122.645874 69.113653
    Unten rechts KachelX + 1 20883 KachelY + 1 30258 -2.14052638 1.20626080 -122.643128 69.113653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20627789-1.20626080) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20627789-1.20626080) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14057432--2.14052638) × cos(1.20627789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356499413473081 × 6371000     		do = 108.88409716951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14057432--2.14052638) × cos(1.20626080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356515380531909 × 6371000     		du = 108.888973920269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20627789)-sin(1.20626080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356499413473081-0.356515380531909)×R²
    abs(-2.14052638--2.14057432)×1.59670588277816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59670588277816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59670588277816e-05×40589641000000     		ar = 11855.6084562022m²