Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20880 / 13264
↖ ↑ ↗
← N 80.668436°
W122.651367°		 ← 49.52 m → N 80.668436°
W122.648620°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.667991°
W122.651367°		 ← 49.53 m →
2 452 m²		 N 80.667991°
W122.648620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159305572509766 y=0.101200103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159305572509766 × 217)
    floor (0.159305572509766 × 131072)
    floor (20880.5)     		tx = 20880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101200103759766 × 217)
    floor (0.101200103759766 × 131072)
    floor (13264.5)     		ty = 13264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20880 / 13264 ti = "17/20880/13264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20880/13264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20880 ÷ 217
    20880 ÷ 131072     		x = 0.1593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13264 ÷ 217
    13264 ÷ 131072     		y = 0.1011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14067019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1011962890625 × 2 - 1) × π
    0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14067019} λ = -2.14067019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50575761693958))-π/2
    2×atan(12.2528384081617)-π/2
    2×1.48936306779304-π/2
    2.97872613558607-1.57079632675     		φ = 1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14067019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.651367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20880 KachelY 13264 -2.14067019 1.40792981 -122.651367 80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 20881 KachelY 13264 -2.14062225 1.40792981 -122.648620 80.668436
    Unten links KachelX 20880 KachelY + 1 13265 -2.14067019 1.40792204 -122.651367 80.667991
    Unten rechts KachelX + 1 20881 KachelY + 1 13265 -2.14062225 1.40792204 -122.648620 80.667991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40792981-1.40792204) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dl = 49.5026699990539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40792981-1.40792204) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dr = 49.5026699990539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14067019--2.14062225) × cos(1.40792981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 49.5240054474597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14067019--2.14062225) × cos(1.40792204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162155118946114 × 6371000     		du = 49.5263471988724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40792981)-sin(1.40792204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.162155118946114)×R²
    abs(-2.14062225--2.14067019)×7.66717111863602e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66717111863602e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66717111863602e-06×40589641000000     		ar = 2451.62846004286m²