Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2088 / 6232
↖ ↑ ↗
← N 39.504041°
W134.121094°		 ← 1 885.13 m → N 39.504041°
W134.099121°		 →
↑
1 885.43 m
↓
↑
1 885.43 m
↓
N 39.487085°
W134.121094°		 ← 1 885.59 m →
3 554 731 m²		 N 39.487085°
W134.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127471923828125 y=0.380401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127471923828125 × 214)
    floor (0.127471923828125 × 16384)
    floor (2088.5)     		tx = 2088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380401611328125 × 214)
    floor (0.380401611328125 × 16384)
    floor (6232.5)     		ty = 6232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2088 / 6232 ti = "14/2088/6232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2088/6232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2088 ÷ 214
    2088 ÷ 16384     		x = 0.12744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6232 ÷ 214
    6232 ÷ 16384     		y = 0.38037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34085468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34085468} λ = -2.34085468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75165058604248))-π/2
    2×atan(2.12049719269305)-π/2
    2×1.13013595246631-π/2
    2.26027190493263-1.57079632675     		φ = 0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34085468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2088 KachelY 6232 -2.34085468 0.68947558 -134.121094 39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 2089 KachelY 6232 -2.34047119 0.68947558 -134.099121 39.504041
    Unten links KachelX 2088 KachelY + 1 6233 -2.34085468 0.68917964 -134.121094 39.487085
    Unten rechts KachelX + 1 2089 KachelY + 1 6233 -2.34047119 0.68917964 -134.099121 39.487085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68947558-0.68917964) × R
    0.000295939999999995 × 6371000     		dl = 1885.43373999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68947558-0.68917964) × R
    0.000295939999999995 × 6371000     		dr = 1885.43373999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34085468--2.34047119) × cos(0.68947558) × R
    0.000383489999999931 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 1885.13498786358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34085468--2.34047119) × cos(0.68917964) × R
    0.000383489999999931 × 0.771767945060725 × 6371000     		du = 1885.59485781993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68947558)-sin(0.68917964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.771767945060725)×R²
    abs(-2.34047119--2.34085468)×0.000188223302442836×R²
    0.000383489999999931×0.000188223302442836×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188223302442836×40589641000000     		ar = 3554730.6636823m²