Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20879 / 5163
↖ ↑ ↗
← N 76.732835°
E 49.383545°		 ← 280.34 m → N 76.732835°
E 49.394531°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 76.730314°
E 49.383545°		 ← 280.39 m →
78 594 m²		 N 76.730314°
E 49.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637191772460938 y=0.157577514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637191772460938 × 215)
    floor (0.637191772460938 × 32768)
    floor (20879.5)     		tx = 20879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157577514648438 × 215)
    floor (0.157577514648438 × 32768)
    floor (5163.5)     		ty = 5163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20879 / 5163 ti = "15/20879/5163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20879/5163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20879 ÷ 215
    20879 ÷ 32768     		x = 0.637176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5163 ÷ 215
    5163 ÷ 32768     		y = 0.157562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637176513671875 × 2 - 1) × π
    0.27435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86190546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157562255859375 × 2 - 1) × π
    0.68487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1515998025466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86190546} λ = 0.86190546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1515998025466))-π/2
    2×atan(8.59860346727141)-π/2
    2×1.45501847571605-π/2
    2.9100369514321-1.57079632675     		φ = 1.33924062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86190546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.383545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33924062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.732835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20879 KachelY 5163 0.86190546 1.33924062 49.383545 76.732835
    Oben rechts KachelX + 1 20880 KachelY 5163 0.86209720 1.33924062 49.394531 76.732835
    Unten links KachelX 20879 KachelY + 1 5164 0.86190546 1.33919662 49.383545 76.730314
    Unten rechts KachelX + 1 20880 KachelY + 1 5164 0.86209720 1.33919662 49.394531 76.730314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33924062-1.33919662) × R
    4.3999999999933e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33924062-1.33919662) × R
    4.3999999999933e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86190546-0.86209720) × cos(1.33924062) × R
    0.000191739999999996 × 0.22949198647262 × 6371000     		do = 280.341797300958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86190546-0.86209720) × cos(1.33919662) × R
    0.000191739999999996 × 0.22953481191469 × 6371000     		du = 280.394111813479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33924062)-sin(1.33919662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22949198647262-0.22953481191469)×R²
    abs(0.86209720-0.86190546)×4.28254420695995e-05×R²
    0.000191739999999996×4.28254420695995e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.28254420695995e-05×40589641000000     		ar = 78593.8665058376m²