Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20879 / 13263
↖ ↑ ↗
← N 80.668881°
W122.654114°		 ← 49.52 m → N 80.668881°
W122.651367°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.668436°
W122.654114°		 ← 49.52 m →
2 452 m²		 N 80.668436°
W122.651367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159297943115234 y=0.101192474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159297943115234 × 217)
    floor (0.159297943115234 × 131072)
    floor (20879.5)     		tx = 20879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101192474365234 × 217)
    floor (0.101192474365234 × 131072)
    floor (13263.5)     		ty = 13263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20879 / 13263 ti = "17/20879/13263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20879/13263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20879 ÷ 217
    20879 ÷ 131072     		x = 0.159294128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13263 ÷ 217
    13263 ÷ 131072     		y = 0.101188659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159294128417969 × 2 - 1) × π
    -0.681411743164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14071813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101188659667969 × 2 - 1) × π
    0.797622680664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.5058055538392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14071813} λ = -2.14071813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5058055538392))-π/2
    2×atan(12.253425785325)-π/2
    2×1.48936695412421-π/2
    2.97873390824841-1.57079632675     		φ = 1.40793758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14071813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.654114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40793758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.668881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20879 KachelY 13263 -2.14071813 1.40793758 -122.654114 80.668881
    Oben rechts KachelX + 1 20880 KachelY 13263 -2.14067019 1.40793758 -122.651367 80.668881
    Unten links KachelX 20879 KachelY + 1 13264 -2.14071813 1.40792981 -122.654114 80.668436
    Unten rechts KachelX + 1 20880 KachelY + 1 13264 -2.14067019 1.40792981 -122.651367 80.668436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40793758-1.40792981) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40793758-1.40792981) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14071813--2.14067019) × cos(1.40793758) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.162139784594087 × 6371000     		do = 49.5216636935159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14071813--2.14067019) × cos(1.40792981) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.162147451774995 × 6371000     		du = 49.5240054479185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40793758)-sin(1.40792981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162139784594087-0.162147451774995)×R²
    abs(-2.14067019--2.14071813)×7.66718090816632e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.66718090816632e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.66718090816632e-06×40589641000000     		ar = 2451.51253736966m²