Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20878 / 5164
↖ ↑ ↗
← N 76.730314°
E 49.372559°		 ← 280.41 m → N 76.730314°
E 49.383545°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
N 76.727792°
E 49.372559°		 ← 280.46 m →
78 648 m²		 N 76.727792°
E 49.383545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637161254882812 y=0.157608032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637161254882812 × 215)
    floor (0.637161254882812 × 32768)
    floor (20878.5)     		tx = 20878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157608032226562 × 215)
    floor (0.157608032226562 × 32768)
    floor (5164.5)     		ty = 5164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20878 / 5164 ti = "15/20878/5164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20878/5164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20878 ÷ 215
    20878 ÷ 32768     		x = 0.63714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5164 ÷ 215
    5164 ÷ 32768     		y = 0.1575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    0.2742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86171371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1575927734375 × 2 - 1) × π
    0.684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86171371} λ = 0.86171371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15140805494812))-π/2
    2×atan(8.59695486376921)-π/2
    2×1.45499647139458-π/2
    2.90999294278916-1.57079632675     		φ = 1.33919662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86171371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.372559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33919662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.730314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20878 KachelY 5164 0.86171371 1.33919662 49.372559 76.730314
    Oben rechts KachelX + 1 20879 KachelY 5164 0.86190546 1.33919662 49.383545 76.730314
    Unten links KachelX 20878 KachelY + 1 5165 0.86171371 1.33915260 49.372559 76.727792
    Unten rechts KachelX + 1 20879 KachelY + 1 5165 0.86190546 1.33915260 49.383545 76.727792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33919662-1.33915260) × R
    4.40200000000335e-05 × 6371000     		dl = 280.451420000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33919662-1.33915260) × R
    4.40200000000335e-05 × 6371000     		dr = 280.451420000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86171371-0.86190546) × cos(1.33919662) × R
    0.000191750000000046 × 0.22953481191469 × 6371000     		do = 280.40873547642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86171371-0.86190546) × cos(1.33915260) × R
    0.000191750000000046 × 0.229577656378187 × 6371000     		du = 280.461075954674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33919662)-sin(1.33915260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22953481191469-0.229577656378187)×R²
    abs(0.86190546-0.86171371)×4.28444634972824e-05×R²
    0.000191750000000046×4.28444634972824e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.28444634972824e-05×40589641000000     		ar = 78648.3675381759m²