Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20877 / 12189
↖ ↑ ↗
← N 81.135215°
W122.659607°		 ← 47.07 m → N 81.135215°
W122.656860°		 →
↑
47.08 m
↓
↑
47.08 m
↓
N 81.134792°
W122.659607°		 ← 47.07 m →
2 216 m²		 N 81.134792°
W122.656860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159282684326172 y=0.0929985046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159282684326172 × 217)
    floor (0.159282684326172 × 131072)
    floor (20877.5)     		tx = 20877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0929985046386719 × 217)
    floor (0.0929985046386719 × 131072)
    floor (12189.5)     		ty = 12189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20877 / 12189 ti = "17/20877/12189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20877/12189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20877 ÷ 217
    20877 ÷ 131072     		x = 0.159278869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12189 ÷ 217
    12189 ÷ 131072     		y = 0.0929946899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159278869628906 × 2 - 1) × π
    -0.681442260742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.14081400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0929946899414062 × 2 - 1) × π
    0.814010620117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.55728978403114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14081400} λ = -2.14081400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55728978403114))-π/2
    2×atan(12.9008059225331)-π/2
    2×1.49343648113245-π/2
    2.98687296226491-1.57079632675     		φ = 1.41607664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14081400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.659607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41607664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.135215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20877 KachelY 12189 -2.14081400 1.41607664 -122.659607 81.135215
    Oben rechts KachelX + 1 20878 KachelY 12189 -2.14076606 1.41607664 -122.656860 81.135215
    Unten links KachelX 20877 KachelY + 1 12190 -2.14081400 1.41606925 -122.659607 81.134792
    Unten rechts KachelX + 1 20878 KachelY + 1 12190 -2.14076606 1.41606925 -122.656860 81.134792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41607664-1.41606925) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dl = 47.0816899996209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41607664-1.41606925) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dr = 47.0816899996209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14081400--2.14076606) × cos(1.41607664) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.154103140550654 × 6371000     		do = 47.0670657394126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14081400--2.14076606) × cos(1.41606925) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.154110442271172 × 6371000     		du = 47.0692958728051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41607664)-sin(1.41606925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154103140550654-0.154110442271172)×R²
    abs(-2.14076606--2.14081400)×7.30172051813249e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.30172051813249e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.30172051813249e-06×40589641000000     		ar = 2216.04949775873m²