Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20876 / 5166
↖ ↑ ↗
← N 76.725269°
E 49.350586°		 ← 280.51 m → N 76.725269°
E 49.361572°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 76.722747°
E 49.350586°		 ← 280.57 m →
78 696 m²		 N 76.722747°
E 49.361572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637100219726562 y=0.157669067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637100219726562 × 215)
    floor (0.637100219726562 × 32768)
    floor (20876.5)     		tx = 20876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157669067382812 × 215)
    floor (0.157669067382812 × 32768)
    floor (5166.5)     		ty = 5166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20876 / 5166 ti = "15/20876/5166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20876/5166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20876 ÷ 215
    20876 ÷ 32768     		x = 0.6370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5166 ÷ 215
    5166 ÷ 32768     		y = 0.15765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6370849609375 × 2 - 1) × π
    0.274169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86133021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15765380859375 × 2 - 1) × π
    0.6846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15102455975116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86133021} λ = 0.86133021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15102455975116))-π/2
    2×atan(8.59365860496058)-π/2
    2×1.4549524504299-π/2
    2.90990490085981-1.57079632675     		φ = 1.33910857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86133021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.350586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33910857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.725269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20876 KachelY 5166 0.86133021 1.33910857 49.350586 76.725269
    Oben rechts KachelX + 1 20877 KachelY 5166 0.86152196 1.33910857 49.361572 76.725269
    Unten links KachelX 20876 KachelY + 1 5167 0.86133021 1.33906454 49.350586 76.722747
    Unten rechts KachelX + 1 20877 KachelY + 1 5167 0.86152196 1.33906454 49.361572 76.722747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33910857-1.33906454) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33910857-1.33906454) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86133021-0.86152196) × cos(1.33910857) × R
    0.000191750000000046 × 0.22962051012962 × 6371000     		do = 280.513427779434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86133021-0.86152196) × cos(1.33906454) × R
    0.000191750000000046 × 0.229663363435902 × 6371000     		du = 280.56577906038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33910857)-sin(1.33906454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22962051012962-0.229663363435902)×R²
    abs(0.86152196-0.86133021)×4.28533062814263e-05×R²
    0.000191750000000046×4.28533062814263e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.28533062814263e-05×40589641000000     		ar = 78695.6033358214m²