Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20875 / 5165
↖ ↑ ↗
← N 76.727792°
E 49.339599°		 ← 280.46 m → N 76.727792°
E 49.350586°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 76.725269°
E 49.339599°		 ← 280.51 m →
78 681 m²		 N 76.725269°
E 49.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637069702148438 y=0.157638549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637069702148438 × 215)
    floor (0.637069702148438 × 32768)
    floor (20875.5)     		tx = 20875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157638549804688 × 215)
    floor (0.157638549804688 × 32768)
    floor (5165.5)     		ty = 5165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20875 / 5165 ti = "15/20875/5165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20875/5165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20875 ÷ 215
    20875 ÷ 32768     		x = 0.637054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5165 ÷ 215
    5165 ÷ 32768     		y = 0.157623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637054443359375 × 2 - 1) × π
    0.27410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86113846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157623291015625 × 2 - 1) × π
    0.68475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15121630734964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86113846} λ = 0.86113846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15121630734964))-π/2
    2×atan(8.59530657635247)-π/2
    2×1.45497446296611-π/2
    2.90994892593222-1.57079632675     		φ = 1.33915260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86113846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.339599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33915260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.727792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20875 KachelY 5165 0.86113846 1.33915260 49.339599 76.727792
    Oben rechts KachelX + 1 20876 KachelY 5165 0.86133021 1.33915260 49.350586 76.727792
    Unten links KachelX 20875 KachelY + 1 5166 0.86113846 1.33910857 49.339599 76.725269
    Unten rechts KachelX + 1 20876 KachelY + 1 5166 0.86133021 1.33910857 49.350586 76.725269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33915260-1.33910857) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33915260-1.33910857) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86113846-0.86133021) × cos(1.33915260) × R
    0.000191749999999935 × 0.229577656378187 × 6371000     		do = 280.461075954511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86113846-0.86133021) × cos(1.33910857) × R
    0.000191749999999935 × 0.22962051012962 × 6371000     		du = 280.513427779272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33915260)-sin(1.33910857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229577656378187-0.22962051012962)×R²
    abs(0.86133021-0.86113846)×4.28537514331195e-05×R²
    0.000191749999999935×4.28537514331195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.28537514331195e-05×40589641000000     		ar = 78680.9179337509m²