Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20874 / 12174
↖ ↑ ↗
← N 81.141561°
W122.667847°		 ← 47.03 m → N 81.141561°
W122.665100°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.141138°
W122.667847°		 ← 47.04 m →
2 211 m²		 N 81.141138°
W122.665100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159259796142578 y=0.0928840637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159259796142578 × 217)
    floor (0.159259796142578 × 131072)
    floor (20874.5)     		tx = 20874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928840637207031 × 217)
    floor (0.0928840637207031 × 131072)
    floor (12174.5)     		ty = 12174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20874 / 12174 ti = "17/20874/12174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20874/12174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20874 ÷ 217
    20874 ÷ 131072     		x = 0.159255981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12174 ÷ 217
    12174 ÷ 131072     		y = 0.0928802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159255981445312 × 2 - 1) × π
    -0.681488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14095781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928802490234375 × 2 - 1) × π
    0.814239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55800883752544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14095781} λ = -2.14095781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55800883752544))-π/2
    2×atan(12.9100856280135)-π/2
    2×1.4934918656581-π/2
    2.98698373131621-1.57079632675     		φ = 1.41618740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14095781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.667847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41618740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.141561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20874 KachelY 12174 -2.14095781 1.41618740 -122.667847 81.141561
    Oben rechts KachelX + 1 20875 KachelY 12174 -2.14090987 1.41618740 -122.665100 81.141561
    Unten links KachelX 20874 KachelY + 1 12175 -2.14095781 1.41618002 -122.667847 81.141138
    Unten rechts KachelX + 1 20875 KachelY + 1 12175 -2.14090987 1.41618002 -122.665100 81.141138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41618740-1.41618002) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41618740-1.41618002) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14095781--2.14090987) × cos(1.41618740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153993702659662 × 6371000     		do = 47.0336405901364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14095781--2.14090987) × cos(1.41618002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154000994625567 × 6371000     		du = 47.0358677442191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41618740)-sin(1.41618002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153993702659662-0.154000994625567)×R²
    abs(-2.14090987--2.14095781)×7.29196590540382e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.29196590540382e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.29196590540382e-06×40589641000000     		ar = 2211.47913074317m²