Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20873 / 5037
↖ ↑ ↗
← N 77.046809°
E 49.317627°		 ← 273.84 m → N 77.046809°
E 49.328613°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 77.044346°
E 49.317627°		 ← 273.89 m →
75 008 m²		 N 77.044346°
E 49.328613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637008666992188 y=0.153732299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637008666992188 × 215)
    floor (0.637008666992188 × 32768)
    floor (20873.5)     		tx = 20873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153732299804688 × 215)
    floor (0.153732299804688 × 32768)
    floor (5037.5)     		ty = 5037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20873 / 5037 ti = "15/20873/5037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20873/5037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20873 ÷ 215
    20873 ÷ 32768     		x = 0.636993408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5037 ÷ 215
    5037 ÷ 32768     		y = 0.153717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    0.27398681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86075497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153717041015625 × 2 - 1) × π
    0.69256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17575999995511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86075497} λ = 0.86075497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17575999995511))-π/2
    2×atan(8.80887732520021)-π/2
    2×1.45775840605088-π/2
    2.91551681210176-1.57079632675     		φ = 1.34472049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86075497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.317627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34472049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.046809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20873 KachelY 5037 0.86075497 1.34472049 49.317627 77.046809
    Oben rechts KachelX + 1 20874 KachelY 5037 0.86094672 1.34472049 49.328613 77.046809
    Unten links KachelX 20873 KachelY + 1 5038 0.86075497 1.34467750 49.317627 77.044346
    Unten rechts KachelX + 1 20874 KachelY + 1 5038 0.86094672 1.34467750 49.328613 77.044346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34472049-1.34467750) × R
    4.2990000000076e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34472049-1.34467750) × R
    4.2990000000076e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86075497-0.86094672) × cos(1.34472049) × R
    0.000191750000000046 × 0.224154952182869 × 6371000     		do = 273.836487668532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86075497-0.86094672) × cos(1.34467750) × R
    0.000191750000000046 × 0.224196848031416 × 6371000     		du = 273.887669281528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34472049)-sin(1.34467750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224154952182869-0.224196848031416)×R²
    abs(0.86094672-0.86075497)×4.18958485462473e-05×R²
    0.000191750000000046×4.18958485462473e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.18958485462473e-05×40589641000000     		ar = 75007.8902425437m²