Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20873 / 5035
↖ ↑ ↗
← N 77.051733°
E 49.317627°		 ← 273.73 m → N 77.051733°
E 49.328613°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 77.049271°
E 49.317627°		 ← 273.79 m →
74 945 m²		 N 77.049271°
E 49.328613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637008666992188 y=0.153671264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637008666992188 × 215)
    floor (0.637008666992188 × 32768)
    floor (20873.5)     		tx = 20873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153671264648438 × 215)
    floor (0.153671264648438 × 32768)
    floor (5035.5)     		ty = 5035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20873 / 5035 ti = "15/20873/5035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20873/5035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20873 ÷ 215
    20873 ÷ 32768     		x = 0.636993408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5035 ÷ 215
    5035 ÷ 32768     		y = 0.153656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    0.27398681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86075497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153656005859375 × 2 - 1) × π
    0.69268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17614349515207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86075497} λ = 0.86075497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17614349515207))-π/2
    2×atan(8.81225613518232)-π/2
    2×1.45780137919465-π/2
    2.91560275838931-1.57079632675     		φ = 1.34480643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86075497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.317627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34480643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.051733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20873 KachelY 5035 0.86075497 1.34480643 49.317627 77.051733
    Oben rechts KachelX + 1 20874 KachelY 5035 0.86094672 1.34480643 49.328613 77.051733
    Unten links KachelX 20873 KachelY + 1 5036 0.86075497 1.34476346 49.317627 77.049271
    Unten rechts KachelX + 1 20874 KachelY + 1 5036 0.86094672 1.34476346 49.328613 77.049271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34480643-1.34476346) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34480643-1.34476346) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86075497-0.86094672) × cos(1.34480643) × R
    0.000191750000000046 × 0.224071198225957 × 6371000     		do = 273.734170547425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86075497-0.86094672) × cos(1.34476346) × R
    0.000191750000000046 × 0.224113075411317 × 6371000     		du = 273.78532936074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34480643)-sin(1.34476346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224071198225957-0.224113075411317)×R²
    abs(0.86094672-0.86075497)×4.18771853599453e-05×R²
    0.000191750000000046×4.18771853599453e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.18771853599453e-05×40589641000000     		ar = 74944.9810900419m²