Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20873 / 13417
↖ ↑ ↗
← N 80.600050°
W122.670593°		 ← 49.88 m → N 80.600050°
W122.667847°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
N 80.599601°
W122.670593°		 ← 49.89 m →
2 489 m²		 N 80.599601°
W122.667847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159252166748047 y=0.102367401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159252166748047 × 217)
    floor (0.159252166748047 × 131072)
    floor (20873.5)     		tx = 20873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102367401123047 × 217)
    floor (0.102367401123047 × 131072)
    floor (13417.5)     		ty = 13417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20873 / 13417 ti = "17/20873/13417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20873/13417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20873 ÷ 217
    20873 ÷ 131072     		x = 0.159248352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13417 ÷ 217
    13417 ÷ 131072     		y = 0.102363586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159248352050781 × 2 - 1) × π
    -0.681503295898438 × 3.1415926535     		Λ = -2.14100575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102363586425781 × 2 - 1) × π
    0.795272827148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.49842327129771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14100575} λ = -2.14100575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49842327129771))-π/2
    2×atan(12.1633006081414)-π/2
    2×1.48876628827402-π/2
    2.97753257654805-1.57079632675     		φ = 1.40673625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14100575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.670593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40673625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.600050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20873 KachelY 13417 -2.14100575 1.40673625 -122.670593 80.600050
    Oben rechts KachelX + 1 20874 KachelY 13417 -2.14095781 1.40673625 -122.667847 80.600050
    Unten links KachelX 20873 KachelY + 1 13418 -2.14100575 1.40672842 -122.670593 80.599601
    Unten rechts KachelX + 1 20874 KachelY + 1 13418 -2.14095781 1.40672842 -122.667847 80.599601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40673625-1.40672842) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40673625-1.40672842) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14100575--2.14095781) × cos(1.40673625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16332510107005 × 6371000     		do = 49.8836898548621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14100575--2.14095781) × cos(1.40672842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163332825926185 × 6371000     		du = 49.8860492247635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40673625)-sin(1.40672842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16332510107005-0.163332825926185)×R²
    abs(-2.14095781--2.14100575)×7.72485613487195e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72485613487195e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72485613487195e-06×40589641000000     		ar = 2488.50322499388m²