Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20871 / 5031
↖ ↑ ↗
← N 77.061576°
E 49.295654°		 ← 273.53 m → N 77.061576°
E 49.306641°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 77.059116°
E 49.295654°		 ← 273.58 m →
74 837 m²		 N 77.059116°
E 49.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636947631835938 y=0.153549194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636947631835938 × 215)
    floor (0.636947631835938 × 32768)
    floor (20871.5)     		tx = 20871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153549194335938 × 215)
    floor (0.153549194335938 × 32768)
    floor (5031.5)     		ty = 5031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20871 / 5031 ti = "15/20871/5031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20871/5031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20871 ÷ 215
    20871 ÷ 32768     		x = 0.636932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5031 ÷ 215
    5031 ÷ 32768     		y = 0.153533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636932373046875 × 2 - 1) × π
    0.27386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86037147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153533935546875 × 2 - 1) × π
    0.69293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17691048554599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86037147} λ = 0.86037147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17691048554599))-π/2
    2×atan(8.81901764366133)-π/2
    2×1.45788727731403-π/2
    2.91577455462805-1.57079632675     		φ = 1.34497823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86037147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.295654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34497823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.061576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20871 KachelY 5031 0.86037147 1.34497823 49.295654 77.061576
    Oben rechts KachelX + 1 20872 KachelY 5031 0.86056322 1.34497823 49.306641 77.061576
    Unten links KachelX 20871 KachelY + 1 5032 0.86037147 1.34493529 49.295654 77.059116
    Unten rechts KachelX + 1 20872 KachelY + 1 5032 0.86056322 1.34493529 49.306641 77.059116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34497823-1.34493529) × R
    4.29399999999358e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34497823-1.34493529) × R
    4.29399999999358e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86037147-0.86056322) × cos(1.34497823) × R
    0.000191749999999935 × 0.223903763316894 × 6371000     		do = 273.529625490535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86037147-0.86056322) × cos(1.34493529) × R
    0.000191749999999935 × 0.22394561291789 × 6371000     		du = 273.580750605709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34497823)-sin(1.34493529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223903763316894-0.22394561291789)×R²
    abs(0.86056322-0.86037147)×4.18496009960134e-05×R²
    0.000191749999999935×4.18496009960134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.18496009960134e-05×40589641000000     		ar = 74836.6952364707m²