Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20869 / 5025
↖ ↑ ↗
← N 77.076327°
E 49.273682°		 ← 273.22 m → N 77.076327°
E 49.284668°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 77.073870°
E 49.273682°		 ← 273.27 m →
74 666 m²		 N 77.073870°
E 49.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636886596679688 y=0.153366088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636886596679688 × 215)
    floor (0.636886596679688 × 32768)
    floor (20869.5)     		tx = 20869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153366088867188 × 215)
    floor (0.153366088867188 × 32768)
    floor (5025.5)     		ty = 5025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20869 / 5025 ti = "15/20869/5025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20869/5025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20869 ÷ 215
    20869 ÷ 32768     		x = 0.636871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5025 ÷ 215
    5025 ÷ 32768     		y = 0.153350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636871337890625 × 2 - 1) × π
    0.27374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85998798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153350830078125 × 2 - 1) × π
    0.69329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17806097113687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85998798} λ = 0.85998798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17806097113687))-π/2
    2×atan(8.82916963512627)-π/2
    2×1.45801600415788-π/2
    2.91603200831576-1.57079632675     		φ = 1.34523568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85998798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34523568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.076327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20869 KachelY 5025 0.85998798 1.34523568 49.273682 77.076327
    Oben rechts KachelX + 1 20870 KachelY 5025 0.86017973 1.34523568 49.284668 77.076327
    Unten links KachelX 20869 KachelY + 1 5026 0.85998798 1.34519279 49.273682 77.073870
    Unten rechts KachelX + 1 20870 KachelY + 1 5026 0.86017973 1.34519279 49.284668 77.073870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34523568-1.34519279) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34523568-1.34519279) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85998798-0.86017973) × cos(1.34523568) × R
    0.000191750000000046 × 0.223652842230994 × 6371000     		do = 273.223090443505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85998798-0.86017973) × cos(1.34519279) × R
    0.000191750000000046 × 0.223694645573105 × 6371000     		du = 273.274159047009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34523568)-sin(1.34519279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223652842230994-0.223694645573105)×R²
    abs(0.86017973-0.85998798)×4.18033421112907e-05×R²
    0.000191750000000046×4.18033421112907e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.18033421112907e-05×40589641000000     		ar = 74665.7851377139m²