Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20868 / 12163
↖ ↑ ↗
← N 81.146213°
W122.684326°		 ← 47 m → N 81.146213°
W122.681580°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.145790°
W122.684326°		 ← 47 m →
2 210 m²		 N 81.145790°
W122.681580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159214019775391 y=0.0928001403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159214019775391 × 217)
    floor (0.159214019775391 × 131072)
    floor (20868.5)     		tx = 20868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928001403808594 × 217)
    floor (0.0928001403808594 × 131072)
    floor (12163.5)     		ty = 12163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20868 / 12163 ti = "17/20868/12163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20868/12163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20868 ÷ 217
    20868 ÷ 131072     		x = 0.159210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12163 ÷ 217
    12163 ÷ 131072     		y = 0.0927963256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.68157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14124543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927963256835938 × 2 - 1) × π
    0.814407348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.55853614342126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14124543} λ = -2.14124543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55853614342126))-π/2
    2×atan(12.9168949874306)-π/2
    2×1.49353245597552-π/2
    2.98706491195105-1.57079632675     		φ = 1.41626859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14124543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.684326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41626859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.146213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20868 KachelY 12163 -2.14124543 1.41626859 -122.684326 81.146213
    Oben rechts KachelX + 1 20869 KachelY 12163 -2.14119750 1.41626859 -122.681580 81.146213
    Unten links KachelX 20868 KachelY + 1 12164 -2.14124543 1.41626121 -122.684326 81.145790
    Unten rechts KachelX + 1 20869 KachelY + 1 12164 -2.14119750 1.41626121 -122.681580 81.145790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41626859-1.41626121) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41626859-1.41626121) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14124543--2.14119750) × cos(1.41626859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153913480600393 × 6371000     		do = 46.9993328805305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14124543--2.14119750) × cos(1.41626121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153920772658547 × 6371000     		du = 47.0015595982112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41626859)-sin(1.41626121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153913480600393-0.153920772658547)×R²
    abs(-2.14119750--2.14124543)×7.29205815386269e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.29205815386269e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.29205815386269e-06×40589641000000     		ar = 2209.86604113903m²