Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20867 / 5003
↖ ↑ ↗
← N 77.130273°
E 49.251709°		 ← 272.10 m → N 77.130273°
E 49.262695°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 77.127826°
E 49.251709°		 ← 272.15 m →
74 047 m²		 N 77.127826°
E 49.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636825561523438 y=0.152694702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636825561523438 × 215)
    floor (0.636825561523438 × 32768)
    floor (20867.5)     		tx = 20867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152694702148438 × 215)
    floor (0.152694702148438 × 32768)
    floor (5003.5)     		ty = 5003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20867 / 5003 ti = "15/20867/5003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20867/5003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20867 ÷ 215
    20867 ÷ 32768     		x = 0.636810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5003 ÷ 215
    5003 ÷ 32768     		y = 0.152679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636810302734375 × 2 - 1) × π
    0.27362060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85960448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152679443359375 × 2 - 1) × π
    0.69464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18227941830344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85960448} λ = 0.85960448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18227941830344))-π/2
    2×atan(8.86649369018447)-π/2
    2×1.45848676947431-π/2
    2.91697353894861-1.57079632675     		φ = 1.34617721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85960448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.251709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34617721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.130273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20867 KachelY 5003 0.85960448 1.34617721 49.251709 77.130273
    Oben rechts KachelX + 1 20868 KachelY 5003 0.85979623 1.34617721 49.262695 77.130273
    Unten links KachelX 20867 KachelY + 1 5004 0.85960448 1.34613450 49.251709 77.127826
    Unten rechts KachelX + 1 20868 KachelY + 1 5004 0.85979623 1.34613450 49.262695 77.127826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34617721-1.34613450) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34617721-1.34613450) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85960448-0.85979623) × cos(1.34617721) × R
    0.000191750000000046 × 0.222735063253662 × 6371000     		do = 272.101895621971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85960448-0.85979623) × cos(1.34613450) × R
    0.000191750000000046 × 0.222776700133179 × 6371000     		du = 272.152760868237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34617721)-sin(1.34613450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222735063253662-0.222776700133179)×R²
    abs(0.85979623-0.85960448)×4.16368795174149e-05×R²
    0.000191750000000046×4.16368795174149e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.16368795174149e-05×40589641000000     		ar = 74047.3182360015m²