Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20866 / 12674
↖ ↑ ↗
← N 80.927560°
W122.689820°		 ← 48.16 m → N 80.927560°
W122.687073°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.927126°
W122.689820°		 ← 48.16 m →
2 320 m²		 N 80.927126°
W122.687073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159198760986328 y=0.0966987609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159198760986328 × 217)
    floor (0.159198760986328 × 131072)
    floor (20866.5)     		tx = 20866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966987609863281 × 217)
    floor (0.0966987609863281 × 131072)
    floor (12674.5)     		ty = 12674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20866 / 12674 ti = "17/20866/12674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20866/12674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20866 ÷ 217
    20866 ÷ 131072     		x = 0.159194946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12674 ÷ 217
    12674 ÷ 131072     		y = 0.0966949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159194946289062 × 2 - 1) × π
    -0.681610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14134131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966949462890625 × 2 - 1) × π
    0.806610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53404038771541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14134131} λ = -2.14134131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53404038771541))-π/2
    2×atan(12.6043297731061)-π/2
    2×1.49162434830836-π/2
    2.98324869661672-1.57079632675     		φ = 1.41245237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14134131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.689820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41245237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.927560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20866 KachelY 12674 -2.14134131 1.41245237 -122.689820 80.927560
    Oben rechts KachelX + 1 20867 KachelY 12674 -2.14129337 1.41245237 -122.687073 80.927560
    Unten links KachelX 20866 KachelY + 1 12675 -2.14134131 1.41244481 -122.689820 80.927126
    Unten rechts KachelX + 1 20867 KachelY + 1 12675 -2.14129337 1.41244481 -122.687073 80.927126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41245237-1.41244481) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41245237-1.41244481) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14134131--2.14129337) × cos(1.41245237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		do = 48.1604768504566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14134131--2.14129337) × cos(1.41244481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157690563281754 × 6371000     		du = 48.162756981315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41245237)-sin(1.41244481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157683097863619-0.157690563281754)×R²
    abs(-2.14129337--2.14134131)×7.46541813514967e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46541813514967e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46541813514967e-06×40589641000000     		ar = 2319.6927199019m²