Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20865 / 4992
↖ ↑ ↗
← N 77.157163°
E 49.229736°		 ← 271.54 m → N 77.157163°
E 49.240723°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 77.154720°
E 49.229736°		 ← 271.59 m →
73 757 m²		 N 77.154720°
E 49.240723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636764526367188 y=0.152359008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636764526367188 × 215)
    floor (0.636764526367188 × 32768)
    floor (20865.5)     		tx = 20865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152359008789062 × 215)
    floor (0.152359008789062 × 32768)
    floor (4992.5)     		ty = 4992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20865 / 4992 ti = "15/20865/4992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20865/4992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20865 ÷ 215
    20865 ÷ 32768     		x = 0.636749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4992 ÷ 215
    4992 ÷ 32768     		y = 0.15234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636749267578125 × 2 - 1) × π
    0.27349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85922099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15234375 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18438864188672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85922099} λ = 0.85922099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18438864188672))-π/2
    2×atan(8.88521484438621)-π/2
    2×1.45872142714891-π/2
    2.91744285429783-1.57079632675     		φ = 1.34664653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85922099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.229736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34664653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20865 KachelY 4992 0.85922099 1.34664653 49.229736 77.157163
    Oben rechts KachelX + 1 20866 KachelY 4992 0.85941274 1.34664653 49.240723 77.157163
    Unten links KachelX 20865 KachelY + 1 4993 0.85922099 1.34660390 49.229736 77.154720
    Unten rechts KachelX + 1 20866 KachelY + 1 4993 0.85941274 1.34660390 49.240723 77.154720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34664653-1.34660390) × R
    4.26299999998214e-05 × 6371000     		dl = 271.595729998862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34664653-1.34660390) × R
    4.26299999998214e-05 × 6371000     		dr = 271.595729998862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85922099-0.85941274) × cos(1.34664653) × R
    0.000191750000000046 × 0.222277508521736 × 6371000     		do = 271.542928802428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85922099-0.85941274) × cos(1.34660390) × R
    0.000191750000000046 × 0.222319071863817 × 6371000     		du = 271.593704212475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34664653)-sin(1.34660390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222277508521736-0.222319071863817)×R²
    abs(0.85941274-0.85922099)×4.15633420804418e-05×R²
    0.000191750000000046×4.15633420804418e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.15633420804418e-05×40589641000000     		ar = 73756.7951772909m²