Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20863 / 12571
↖ ↑ ↗
← N 80.972059°
W122.698059°		 ← 47.93 m → N 80.972059°
W122.695313°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.971628°
W122.698059°		 ← 47.93 m →
2 299 m²		 N 80.971628°
W122.695313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159175872802734 y=0.0959129333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159175872802734 × 217)
    floor (0.159175872802734 × 131072)
    floor (20863.5)     		tx = 20863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0959129333496094 × 217)
    floor (0.0959129333496094 × 131072)
    floor (12571.5)     		ty = 12571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20863 / 12571 ti = "17/20863/12571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20863/12571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20863 ÷ 217
    20863 ÷ 131072     		x = 0.159172058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12571 ÷ 217
    12571 ÷ 131072     		y = 0.0959091186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159172058105469 × 2 - 1) × π
    -0.681655883789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14148512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0959091186523438 × 2 - 1) × π
    0.808181762695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.53897788837627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14148512} λ = -2.14148512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53897788837627))-π/2
    2×atan(12.6667175527969)-π/2
    2×1.49201268099732-π/2
    2.98402536199463-1.57079632675     		φ = 1.41322904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14148512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.698059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41322904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.972059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20863 KachelY 12571 -2.14148512 1.41322904 -122.698059 80.972059
    Oben rechts KachelX + 1 20864 KachelY 12571 -2.14143718 1.41322904 -122.695313 80.972059
    Unten links KachelX 20863 KachelY + 1 12572 -2.14148512 1.41322151 -122.698059 80.971628
    Unten rechts KachelX + 1 20864 KachelY + 1 12572 -2.14143718 1.41322151 -122.695313 80.971628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41322904-1.41322151) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41322904-1.41322151) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14148512--2.14143718) × cos(1.41322904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156916096704603 × 6371000     		do = 47.9262149538834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14148512--2.14143718) × cos(1.41322151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156923533418042 × 6371000     		du = 47.9284863175886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41322904)-sin(1.41322151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156916096704603-0.156923533418042)×R²
    abs(-2.14143718--2.14148512)×7.43671343875207e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43671343875207e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43671343875207e-06×40589641000000     		ar = 2299.24898632303m²