Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20859 / 12667
↖ ↑ ↗
← N 80.930591°
W122.709045°		 ← 48.13 m → N 80.930591°
W122.706299°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.930158°
W122.709045°		 ← 48.14 m →
2 315 m²		 N 80.930158°
W122.706299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159145355224609 y=0.0966453552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159145355224609 × 217)
    floor (0.159145355224609 × 131072)
    floor (20859.5)     		tx = 20859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966453552246094 × 217)
    floor (0.0966453552246094 × 131072)
    floor (12667.5)     		ty = 12667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20859 / 12667 ti = "17/20859/12667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20859/12667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20859 ÷ 217
    20859 ÷ 131072     		x = 0.159141540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12667 ÷ 217
    12667 ÷ 131072     		y = 0.0966415405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159141540527344 × 2 - 1) × π
    -0.681716918945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.14167686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966415405273438 × 2 - 1) × π
    0.806716918945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.53437594601275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14167686} λ = -2.14167686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53437594601275))-π/2
    2×atan(12.6085599702431)-π/2
    2×1.49165079986156-π/2
    2.98330159972312-1.57079632675     		φ = 1.41250527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14167686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.709045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41250527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.930591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20859 KachelY 12667 -2.14167686 1.41250527 -122.709045 80.930591
    Oben rechts KachelX + 1 20860 KachelY 12667 -2.14162893 1.41250527 -122.706299 80.930591
    Unten links KachelX 20859 KachelY + 1 12668 -2.14167686 1.41249772 -122.709045 80.930158
    Unten rechts KachelX + 1 20860 KachelY + 1 12668 -2.14162893 1.41249772 -122.706299 80.930158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41250527-1.41249772) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41250527-1.41249772) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14167686--2.14162893) × cos(1.41250527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157630859434319 × 6371000     		do = 48.1344792275377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14167686--2.14162893) × cos(1.41249772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157638315040537 × 6371000     		du = 48.1367558865874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41250527)-sin(1.41249772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157630859434319-0.157638315040537)×R²
    abs(-2.14162893--2.14167686)×7.45560621831509e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45560621831509e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45560621831509e-06×40589641000000     		ar = 2315.37374689702m²