Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20857 / 5048
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 49.141846°		 ← 274.40 m → N 77.019692°
E 49.152832°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 77.017223°
E 49.141846°		 ← 274.45 m →
75 320 m²		 N 77.017223°
E 49.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636520385742188 y=0.154067993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636520385742188 × 215)
    floor (0.636520385742188 × 32768)
    floor (20857.5)     		tx = 20857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154067993164062 × 215)
    floor (0.154067993164062 × 32768)
    floor (5048.5)     		ty = 5048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20857 / 5048 ti = "15/20857/5048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20857/5048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20857 ÷ 215
    20857 ÷ 32768     		x = 0.636505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5048 ÷ 215
    5048 ÷ 32768     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636505126953125 × 2 - 1) × π
    0.27301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85768701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85768701} λ = 0.85768701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85768701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.141846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20857 KachelY 5048 0.85768701 1.34424721 49.141846 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 20858 KachelY 5048 0.85787876 1.34424721 49.152832 77.019692
    Unten links KachelX 20857 KachelY + 1 5049 0.85768701 1.34420413 49.141846 77.017223
    Unten rechts KachelX + 1 20858 KachelY + 1 5049 0.85787876 1.34420413 49.152832 77.017223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34420413) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34420413) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85768701-0.85787876) × cos(1.34424721) × R
    0.000191749999999935 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 274.399921820697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85768701-0.85787876) × cos(1.34420413) × R
    0.000191749999999935 × 0.22465814273157 × 6371000     		du = 274.451204992895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34420413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.22465814273157)×R²
    abs(0.85787876-0.85768701)×4.1978982091101e-05×R²
    0.000191749999999935×4.1978982091101e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.1978982091101e-05×40589641000000     		ar = 75319.5756044472m²