Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20855 / 5059
↖ ↑ ↗
← N 76.992519°
E 49.119873°		 ← 274.96 m → N 76.992519°
E 49.130859°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
N 76.990046°
E 49.119873°		 ← 275.02 m →
75 615 m²		 N 76.990046°
E 49.130859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636459350585938 y=0.154403686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636459350585938 × 215)
    floor (0.636459350585938 × 32768)
    floor (20855.5)     		tx = 20855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154403686523438 × 215)
    floor (0.154403686523438 × 32768)
    floor (5059.5)     		ty = 5059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20855 / 5059 ti = "15/20855/5059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20855/5059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20855 ÷ 215
    20855 ÷ 32768     		x = 0.636444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5059 ÷ 215
    5059 ÷ 32768     		y = 0.154388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636444091796875 × 2 - 1) × π
    0.27288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85730351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154388427734375 × 2 - 1) × π
    0.69122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17154155278854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85730351} λ = 0.85730351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17154155278854))-π/2
    2×atan(8.77179580980357)-π/2
    2×1.45728464001735-π/2
    2.9145692800347-1.57079632675     		φ = 1.34377295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85730351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.119873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34377295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.992519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20855 KachelY 5059 0.85730351 1.34377295 49.119873 76.992519
    Oben rechts KachelX + 1 20856 KachelY 5059 0.85749526 1.34377295 49.130859 76.992519
    Unten links KachelX 20855 KachelY + 1 5060 0.85730351 1.34372979 49.119873 76.990046
    Unten rechts KachelX + 1 20856 KachelY + 1 5060 0.85749526 1.34372979 49.130859 76.990046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34377295-1.34372979) × R
    4.3159999999931e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34377295-1.34372979) × R
    4.3159999999931e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85730351-0.85749526) × cos(1.34377295) × R
    0.000191749999999935 × 0.225078279857403 × 6371000     		do = 274.964460996195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85730351-0.85749526) × cos(1.34372979) × R
    0.000191749999999935 × 0.225120332191662 × 6371000     		du = 275.01583377828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34377295)-sin(1.34372979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225078279857403-0.225120332191662)×R²
    abs(0.85749526-0.85730351)×4.20523342596069e-05×R²
    0.000191749999999935×4.20523342596069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.20523342596069e-05×40589641000000     		ar = 75614.6898147812m²