Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20854 / 5051
↖ ↑ ↗
← N 77.012286°
E 49.108887°		 ← 274.54 m → N 77.012286°
E 49.119873°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 77.009817°
E 49.108887°		 ← 274.59 m →
75 393 m²		 N 77.009817°
E 49.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636428833007812 y=0.154159545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636428833007812 × 215)
    floor (0.636428833007812 × 32768)
    floor (20854.5)     		tx = 20854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154159545898438 × 215)
    floor (0.154159545898438 × 32768)
    floor (5051.5)     		ty = 5051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20854 / 5051 ti = "15/20854/5051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20854/5051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20854 ÷ 215
    20854 ÷ 32768     		x = 0.63641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5051 ÷ 215
    5051 ÷ 32768     		y = 0.154144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63641357421875 × 2 - 1) × π
    0.2728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85711177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154144287109375 × 2 - 1) × π
    0.69171142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17307553357639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85711177} λ = 0.85711177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17307553357639))-π/2
    2×atan(8.78526190177328)-π/2
    2×1.45745714394402-π/2
    2.91491428788805-1.57079632675     		φ = 1.34411796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85711177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.108887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34411796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.012286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20854 KachelY 5051 0.85711177 1.34411796 49.108887 77.012286
    Oben rechts KachelX + 1 20855 KachelY 5051 0.85730351 1.34411796 49.119873 77.012286
    Unten links KachelX 20854 KachelY + 1 5052 0.85711177 1.34407486 49.108887 77.009817
    Unten rechts KachelX + 1 20855 KachelY + 1 5052 0.85730351 1.34407486 49.119873 77.009817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34411796-1.34407486) × R
    4.30999999998516e-05 × 6371000     		dl = 274.590099999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34411796-1.34407486) × R
    4.30999999998516e-05 × 6371000     		dr = 274.590099999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85711177-0.85730351) × cos(1.34411796) × R
    0.000191739999999996 × 0.224742109189037 × 6371000     		do = 274.539463393331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85711177-0.85730351) × cos(1.34407486) × R
    0.000191739999999996 × 0.224784106408149 × 6371000     		du = 274.590766168946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34411796)-sin(1.34407486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224742109189037-0.224784106408149)×R²
    abs(0.85730351-0.85711177)×4.19972191123552e-05×R²
    0.000191739999999996×4.19972191123552e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.19972191123552e-05×40589641000000     		ar = 75392.8623362347m²