Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20852 / 5148
↖ ↑ ↗
← N 76.770602°
E 49.086914°		 ← 279.57 m → N 76.770602°
E 49.097901°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 76.768087°
E 49.086914°		 ← 279.62 m →
78 182 m²		 N 76.768087°
E 49.097901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636367797851562 y=0.157119750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636367797851562 × 215)
    floor (0.636367797851562 × 32768)
    floor (20852.5)     		tx = 20852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157119750976562 × 215)
    floor (0.157119750976562 × 32768)
    floor (5148.5)     		ty = 5148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20852 / 5148 ti = "15/20852/5148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20852/5148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20852 ÷ 215
    20852 ÷ 32768     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5148 ÷ 215
    5148 ÷ 32768     		y = 0.1571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    0.685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1544760165238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1544760165238))-π/2
    2×atan(8.62337049130478)-π/2
    2×1.45534804818925-π/2
    2.9106960963785-1.57079632675     		φ = 1.33989977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33989977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.770602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20852 KachelY 5148 0.85672827 1.33989977 49.086914 76.770602
    Oben rechts KachelX + 1 20853 KachelY 5148 0.85692002 1.33989977 49.097901 76.770602
    Unten links KachelX 20852 KachelY + 1 5149 0.85672827 1.33985588 49.086914 76.768087
    Unten rechts KachelX + 1 20853 KachelY + 1 5149 0.85692002 1.33985588 49.097901 76.768087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33989977-1.33985588) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33989977-1.33985588) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85692002) × cos(1.33989977) × R
    0.000191750000000046 × 0.228850379014879 × 6371000     		do = 279.57260538202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85692002) × cos(1.33985588) × R
    0.000191750000000046 × 0.228893104024459 × 6371000     		du = 279.62479993068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33989977)-sin(1.33985588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228850379014879-0.228893104024459)×R²
    abs(0.85692002-0.85672827)×4.2725009580441e-05×R²
    0.000191750000000046×4.2725009580441e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.2725009580441e-05×40589641000000     		ar = 78182.2811689716m²