Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20852 / 5142
↖ ↑ ↗
← N 76.785679°
E 49.086914°		 ← 279.26 m → N 76.785679°
E 49.097901°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 76.783167°
E 49.086914°		 ← 279.31 m →
78 006 m²		 N 76.783167°
E 49.097901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636367797851562 y=0.156936645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636367797851562 × 215)
    floor (0.636367797851562 × 32768)
    floor (20852.5)     		tx = 20852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156936645507812 × 215)
    floor (0.156936645507812 × 32768)
    floor (5142.5)     		ty = 5142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20852 / 5142 ti = "15/20852/5142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20852/5142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20852 ÷ 215
    20852 ÷ 32768     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5142 ÷ 215
    5142 ÷ 32768     		y = 0.15692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    0.6861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15562650211469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15562650211469))-π/2
    2×atan(8.63329726400939)-π/2
    2×1.45547961902936-π/2
    2.91095923805871-1.57079632675     		φ = 1.34016291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34016291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.785679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20852 KachelY 5142 0.85672827 1.34016291 49.086914 76.785679
    Oben rechts KachelX + 1 20853 KachelY 5142 0.85692002 1.34016291 49.097901 76.785679
    Unten links KachelX 20852 KachelY + 1 5143 0.85672827 1.34011907 49.086914 76.783167
    Unten rechts KachelX + 1 20853 KachelY + 1 5143 0.85692002 1.34011907 49.097901 76.783167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34016291-1.34011907) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34016291-1.34011907) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85692002) × cos(1.34016291) × R
    0.000191750000000046 × 0.228594214406961 × 6371000     		do = 279.259664642527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85692002) × cos(1.34011907) × R
    0.000191750000000046 × 0.228636893382763 × 6371000     		du = 279.311802954516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34016291)-sin(1.34011907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228594214406961-0.228636893382763)×R²
    abs(0.85692002-0.85672827)×4.26789758018187e-05×R²
    0.000191750000000046×4.26789758018187e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.26789758018187e-05×40589641000000     		ar = 78005.8013480452m²