Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20850 / 5050
↖ ↑ ↗
← N 77.014755°
E 49.064941°		 ← 274.50 m → N 77.014755°
E 49.075928°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 77.012286°
E 49.064941°		 ← 274.55 m →
75 365 m²		 N 77.012286°
E 49.075928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636306762695312 y=0.154129028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636306762695312 × 215)
    floor (0.636306762695312 × 32768)
    floor (20850.5)     		tx = 20850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154129028320312 × 215)
    floor (0.154129028320312 × 32768)
    floor (5050.5)     		ty = 5050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20850 / 5050 ti = "15/20850/5050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20850/5050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20850 ÷ 215
    20850 ÷ 32768     		x = 0.63629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5050 ÷ 215
    5050 ÷ 32768     		y = 0.15411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15411376953125 × 2 - 1) × π
    0.6917724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17326728117487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85634477} λ = 0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17326728117487))-π/2
    2×atan(8.78694661615977)-π/2
    2×1.45747868881096-π/2
    2.91495737762192-1.57079632675     		φ = 1.34416105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34416105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.014755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20850 KachelY 5050 0.85634477 1.34416105 49.064941 77.014755
    Oben rechts KachelX + 1 20851 KachelY 5050 0.85653652 1.34416105 49.075928 77.014755
    Unten links KachelX 20850 KachelY + 1 5051 0.85634477 1.34411796 49.064941 77.012286
    Unten rechts KachelX + 1 20851 KachelY + 1 5051 0.85653652 1.34411796 49.075928 77.012286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34416105-1.34411796) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dl = 274.526390000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34416105-1.34411796) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dr = 274.526390000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85634477-0.85653652) × cos(1.34416105) × R
    0.000191750000000046 × 0.224700121296721 × 6371000     		do = 274.502487655901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85634477-0.85653652) × cos(1.34411796) × R
    0.000191750000000046 × 0.224742109189037 × 6371000     		du = 274.553781713179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34416105)-sin(1.34411796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224700121296721-0.224742109189037)×R²
    abs(0.85653652-0.85634477)×4.19878923161865e-05×R²
    0.000191750000000046×4.19878923161865e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.19878923161865e-05×40589641000000     		ar = 75365.2177801442m²