Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20846 / 5046
↖ ↑ ↗
← N 77.024626°
E 49.020996°		 ← 274.30 m → N 77.024626°
E 49.031982°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 77.022159°
E 49.020996°		 ← 274.35 m →
75 256 m²		 N 77.022159°
E 49.031982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636184692382812 y=0.154006958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636184692382812 × 215)
    floor (0.636184692382812 × 32768)
    floor (20846.5)     		tx = 20846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154006958007812 × 215)
    floor (0.154006958007812 × 32768)
    floor (5046.5)     		ty = 5046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20846 / 5046 ti = "15/20846/5046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20846/5046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20846 ÷ 215
    20846 ÷ 32768     		x = 0.63616943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5046 ÷ 215
    5046 ÷ 32768     		y = 0.15399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63616943359375 × 2 - 1) × π
    0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15399169921875 × 2 - 1) × π
    0.6920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17403427156879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85557778} λ = 0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17403427156879))-π/2
    2×atan(8.79368870503445)-π/2
    2×1.45756482803426-π/2
    2.91512965606852-1.57079632675     		φ = 1.34433333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34433333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.024626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20846 KachelY 5046 0.85557778 1.34433333 49.020996 77.024626
    Oben rechts KachelX + 1 20847 KachelY 5046 0.85576953 1.34433333 49.031982 77.024626
    Unten links KachelX 20846 KachelY + 1 5047 0.85557778 1.34429027 49.020996 77.022159
    Unten rechts KachelX + 1 20847 KachelY + 1 5047 0.85576953 1.34429027 49.031982 77.022159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34433333-1.34429027) × R
    4.30600000000947e-05 × 6371000     		dl = 274.335260000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34433333-1.34429027) × R
    4.30600000000947e-05 × 6371000     		dr = 274.335260000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85557778-0.85576953) × cos(1.34433333) × R
    0.000191750000000046 × 0.224532243513454 × 6371000     		do = 274.29740156666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85557778-0.85576953) × cos(1.34429027) × R
    0.000191750000000046 × 0.224574203839665 × 6371000     		du = 274.348661948102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34433333)-sin(1.34429027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224532243513454-0.224574203839665)×R²
    abs(0.85576953-0.85557778)×4.19603262107604e-05×R²
    0.000191750000000046×4.19603262107604e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.19603262107604e-05×40589641000000     		ar = 75256.4802527693m²